『コンテストの問題 Part2』

【問題１】

内角の大きさの比が１：２：４の三角形があります。
３つの内角の二等分線と対辺との交点を結んでできる三角形は二等辺三角形であることを示してください。

【問題２】

分子が１で分母が２以上の分数を、単位分数ということにします。

９
１１は３つの単位分数の和で表せないことを示してください。

また、区間 ( ４１
４２，１) に、３つの単位分数の和で表せる有理数はあるでしょうか？

【問題３】

ジョン、ピーター、トム、ジョージ、ステファンは兄弟です。

ある日、彼らの中の一人が窓ガラスを割りました。
父親が、誰が割ったのか尋ねたとき、彼らは次のように答えました。

ジョン：「ピーターかトムです。」
ピーター：「ジョージでも私でもありません。」
トム：「ジョンもピーターもうそをついています。」
ステファン：「いいえ、ジョンとピーターのうち、一人だけうそをついています。」
ジョージ：「ステファンの言っていることは間違いです。」

彼らのうち、３人だけが本当のことを言っているとすると、窓ガラスを割ったのは誰でしょうか？

【問題４】

実数 x の小数部分を {x} と書くことにします。すなわち

{x} = x - [x]

です。( [　] はガウス記号)

このとき、

(1) {a} + { 1
a } = 1 となる a の例を挙げてください。

(2) (1) の条件を満たす a は無理数であることを示してください。

【問題５】

自分自身と交わらない６角形 ABCDEF の隣り合う２つの辺は、すべて直交しています。
このとき、３直線 AD, BE, CF は1点で交わることを示してください。

【問題６】

すべての面が三角形の凸多面体Sのすべての辺を、赤または青に塗ります。
このとき、Sの任意の頂点P, Qに対し、PからQへ赤い辺だけを通る経路と青い辺だけを通る経路が両方あるような塗り方が存在することを示してください。

【問題７】

２０より大きな素因数を持たない１０個の自然数があります。
これらの中から１個以上を選んで、それらの積が平方数となるようにできることを示してください。

【問題８】

a, b, c, x を実数とします。

|x|≦1 のとき |ax²+bx+c| ≦1 ならば、
|x|≦1 のとき |cx²+bx+a| ≦2 であることを示してください。