◆滋賀県 ippei さんからの解答。
【問題５】
第１象限および軸上に点を次のようにとる。
a(0,a),B(0,0),C(c,0),D(c,d),E(e,d),F(e,a)
３直線の方程式は
| y= | d-a c |
x+a (1) |
| y= | d e |
x (2) |
| y= | -a c-e |
(x-c) (3) |
(1)(2) の連立した解も (2)(3) の解もともに
| x= | ace cd-de+ae |
，y= | acd cd-de+ae |
となるから、３直線は１点で交わる。
◆千葉県 なのはな子 さんからの解答。
【問題３】
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題３】
【答え】 窓ガラスを割ったのはトム。
本当のことを言っているのが、ジョンとピーターとかジョージ。
うそをついているのが、トムとステファン。
５人を１人ずつ順に犯人と仮定すると、トム以外のときは「うそ」が３人になるので判明します。
[ P・S ]
トム：「ジョンもピーターもうそをついています。」
ステファン：「いいえ、ジョンとピーターのうち、一人だけうそをついています。」
トムとステファンの主張は背反的で２人とも「本当」はあり得ない。
故に、どちらか1人が「本当」で、どちらか１人が「うそ」。
とすると、みごと落とし穴に落ちてしまいます。
２人とも「本当」の否定は、「本当」と「うそ」だけでなく、２人とも「うそ」もあります。
本問の場合はトムとステファンの主張は２人とも「うそ」です。
つまり、ジョンもピーターも本当のことを言っている場合にそうなります。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題４】(１)
以後、{ }の記号は計算上紛らわしいので【 】に置き換えて表現する。
３以上のすべての整数ｎにおいて、
| ａ＝± | ｎ± ２ |
は条件を満たす。 |
何故なら、３以上の整数ｎなら、は明らかに無理数。
| ∴ ０＜【± | ｎ± ２ |
】＜１ |
| また、± | ｎ＋ ２ |
と ± | ｎ− ２ |
とは、互いに逆数同士。 |
∴
| 【ａ＋ | １ ａ | 】 |
| ＝【±( | ｎ＋ ２ |
＋ | ｎ− ２ |
)】 |
| ＝【±ｎ】 |
| ＝０ |
以上より、
| 【ａ】＋【 | １ ａ | 】＝１ |
ｎの小さい順に例を示す。
【問題４】(２) [証明]
明らかに、ａ≠０。
| ａ＋ | １ ａ | ＝±ｎ。(ただし、ｎは正整数。) |
| ∴ ａ＝± | ｎ± ２ |
●ｎ＝１なら、ａは実数とはならないので条件に反する。
●ｎ＝２なら、ａ＝±１。
| ∴ 【ａ】＋【 | １ ａ | 】＝０≠１ |
条件を満たさない。
ｎ≧３なら、明らかに(１)で示したように、
| ａ＝± | ｎ± ２ |
は条件を満たす。 |
以上より、
| ａ＝± | ｎ± ２ |
(ただし、ｎは３以上の整数) |
| ± | ｎ± ２ |
は明らかに無理数。 |
よって、ａは無理数である。
証明終わり。
[ P・S ]
実数 x の小数部分を 【x】と書くことにします。
なのか、
【x】= x - [x] です。( [ ] はガウス記号)
なのか、今一はっきりしません。
前者であるなら、【−１．２】＝−０．２
後者であるなら、【−１．２】＝０．８
（後者なら、常に【ｘ】≧０。）
後者の意味なら、
実数 x において、【x】= x - [x] とします。( [ ] はガウス記号)
だけの方がよかったのでは‥。
解答は後者ですが、前者ならａ＞０でないと条件を満たさないのは明らか。
| よって、ａ＝ | ｎ± ２ |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題２】
（１）∵
| 9 11 | = | 1 A | + | 1 B | + | 1 C |
ABCをかけると、
9ABC=11(AB+BC+CA) であり、A,B,Cの何れかは１１の倍数。
| また、 | 9 11 | ／3 = | 3 11 | ＞ | 1 11 |
であるから、Aは１１未満。 |
| A=2としても、( | 9 11 | - | 1 2 | )／2 = | 7 44 | ＞ | 1 11 |
| よって Ｃ＝ | 1 11m | 、m:自然数でなければならず、 |
| C≦ | 1 11 |
| これより | 1 A | + | 1 B | ≧ | 8 11 |
| よって | 1 A | ≧ | 4 11 | ＞ | 1 3 |
このようなAは２のみ。A=2を代入すると、
| ( | 9 11 | - | 1 2 | )= | 7 22 | ＞ | 1 B | ≧ | 8 11 | - | 1 2 | = | 5 22 | より |
B=4のみ可能性あり。
| 1 C | = | 9 11 | - | 1 2 | - | 1 4 | = | 3 44 |
よって存在しない。
（２）無い。
| X Y | = | 1 A | + | 1 B | + | 1 C |
| X Y | ∈( | 41 42 | ,1)であるとするとまず、A=2である。 |
∵もしA≧３とするとA=B=C=3の時
| 1 A | + | 1 B | + | 1 C | =1で範囲外である。 |
次に小さい数は A=B=3 C=4であって、
| 1 A | + | 1 B | + | 1 C | = | 11 12 | ＜ | 41 42 |
| そのほかの組み合わせはさらに | 41 42 | より小さい。 |
よって、A=2である。
| 従って問題は | X Y | = | 1 B | + | 1 C |
| 2≦B≦C、B，C：整数、 | X Y | ∈( | 10 21 | , | 1 2 | ) |
B=2では既に範囲外であるから実際には３≦B≦Cである。
| 一方B=C=5では | 1 5 | + | 1 5 | = | 2 5 | ＜ | 10 21 |
（B=3）の場合
| 1 C |
∈( | 41 42 | - | 1 2 | - | 1 3 |
,1- | 1 2 | - | 1 3 | ) = ( | 1 7 | , | 1 6 | ) |
（B=4）の場合
| 1 C |
∈( | 41 42 | - | 1 2 | - | 1 4 |
,1- | 1 2 | - | 1 4 | ) = ( | 19 84 | , | 1 4 | ) |
| 84 19 |
＜５だからその様な整数C≧４は無い。 |
【感想】
うまく考えられた問題ですね。
【問題６】
下図のように４面体は可能である。
面が全部３角形である任意の単一領域の多面体の集合をΣとする。
S∈Σは、何れかの辺を長さ０に縮めることにより、
頂点の数が１、面の数が２、辺の数が３少ないS’∈Σに変形が可能である。
以後これを繰り返すことによりSは塗り分け可能な４面体∈Σまで変形可能である。
下図
従って、次の規則で辺に色をつけながら、逆の手順をたどって、４面体から元のSにたどり着けば、完成した塗り分けは題意を満たす塗り分けである。
（１）逆順において元に戻す２面（３角形）の共通辺（長さをもどす辺）を除く辺の色は、重なっていたときの辺の色を継承する。
下図参照。
（２）共通の辺の色は、（１）で継承した辺の色と異なる色を塗る。継承した色が２色あるときはどちらでも良い
（下図では赤）。
以上のように塗り分けると、上図のように分離された点A,B間には赤のみ経路と青のみ経路が必ず存在し、実質１つの点と同じである。
よって、開く前の状態において、題意を満たす２経路が存在していれば、開いた後も任意の点間で青経路、赤経路が存在する。
【ＰＳ】
凸体より単連結体のほうが証明しやすいので範囲を拡大しました。
【問題７】
２０以下の素数は 2,3,5,7,11,13,17,19の８個である。
従って、１０個の自然数は
N=２Ａ３Ｂ５Ｃ７Ｄ１１Ｅ１３Ｆ１７Ｇ１９Ｈで表される。
ここでＡ〜Ｈは非負整数であるが、積が平方数であるかどうかだけが問題なので、偶奇性だけ考えればよく、Ａ〜Ｈは０か１に限定してよい。
また、各Ｎを選ぶか選ばないかも０か１をかけることに対応させうるので、
Ｎを[A,B,C,D,E,F,G,H]というベクトルで表わせば、２を法とする８次元の有限体（拡大ガロア体）における１０個のベクトルは独立かという問題に等価である。
これは線形代数の基本であり独立にはできない。
即ち、１０個より少ない９個あればそのうちから幾つか選らんで積を平方数にできる。
具体的には各Ｎを行として並べた９×８の行列を作成し、行間の演算による逆行列の求め方の方法で上三角行列化してゆけば、少なくとも９行目は０ベクトルにできる。
そのときの演算操作の合計値（２を法とするので０か１）で各ベ各Ｎの採否を決めればよい。
【ＰＳ】
９個でよいのでは？
◆神奈川県 クラテス さんからの解答。
【問題１】
∠BAC=８x、∠ABC=４ｘ、∠BCA=２ｘとし、
∠BAC,∠ABC,∠BCAと対辺との交点をそれぞれ、D,E,Fとし、内心をGとする。
このとき１４ｘ＝１８０度である。
またFを通りADに平行な直線を引きBCとの交点をHとする。
僣FCと僊FCにおいて
∠HFC＝∠DGC=∠GAC+∠GCA=５x
∠CFA=∠FBC+∠FCB=５xより、
∠HFC=∠CFA
∠FCH=∠FCA=ｘ
FC共通より
△HFC≡△AFC（二辺とその間の角相等）
よって、FH=FAである。
∠HBF=４ｘ、∠HFB=∠DAB=４xより
∠HBF=∠HFBとなるから、△HBFは二等辺三角形である。
同様に△AFG(両底角5x),△GAE(両底角4x)も二等辺三角形である。
これより、FA=GA=GEとなる。
つまり△HBFと△GAEは合同な二等辺三角形である。
よって、FB=EAである。
△DFBと△DEAにおいて、
FB=EA
△DABは二等辺三角形だからBD=AD
∠FBD=∠EAD=４xより、
△DFB≡△DEA（二辺とその間の角相等）
結局DF=DEとなり△DEFは二等辺三角形となる。
【問題８】
f(x)=ax2+bx+c,g(x)=cx2+bx+aとする。
|x|≦1で|g(x)|≦２であるためには
|x|≦1で|f(x)|≦１だから
|g(x)−f(x)|≦３
→
|c−a||x2−１|≦３
→
|c−a|≦３
であることを示せば十分である。
（∵|x|≦１で|x2−１|≦１）
|x|≦１で|f(x)|≦１より、
|f(-1)|≦１
→
−１≦a−b+c≦１・・・(1)
|f(0)|≦１
→
−１≦ｃ≦１・・・(2)
|f(1)|≦１
→
−１≦a+b+c≦１・・・(3)
(1)、(2)より
−２≦a−b≦２・・・(4)
(2)、(3)より
−２≦a+b≦２・・・(5)
(4)、(5)より
−２≦a≦２・・・(6)
(2)、(6)から
|c−a|≦３となる。
よって題意は示された。
◆滋賀県 ippei さんからの解答。
【問題７】
Y.M.Ojisan さんの用語を使わさせて頂きます。
２０以下の素数は 2,3,5,7,11,13,17,19の８個である。
従って、１０個の自然数は
N=２Ａ３Ｂ５Ｃ７Ｄ１１Ｅ１３Ｆ１７Ｇ１９Ｈで表される。
ここでＡ〜Ｈは非負整数であるが、積が平方数であるかどうかだけが問題なので、偶奇性だけ考えればよく、 Ａ〜Ｈは０か１に限定してよい。
できる数に着目すれば、28＝256通りの奇偶のパターンがある。
1個から10個までの数の積は
10C1+10C2+....+10C9+10C10＝210ー1＝1023とおり
1023÷256＝3 余り255 なので鳩の巣原理より少なくとも4つのパターンで奇偶が一致する。
したがってこのなかの適当な2つものの積を考えると、できた数は平方数である。
＜ps＞
511÷256＝1あまり255なので 9個の自然数でぴったり。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題７】
平方数でない自然数なら、全素因数における各指数の内に、奇数である指数が少なくとも１つは存在しなければならない。
その上、あるｎ種類の素因数しか許さないとすると、
全素因数における各指数の偶奇パターンは
明らかに(２n−１)通りある。
（以後、「全素因数における各指数の偶奇パターン」のことを、簡単に「パターン」と呼ぶものとする。）
一方、１個以上のどのような積も平方数とはならないｎ個の自然数を考えてみる。
（ｎ個の素数をそのままｎ個の自然数としてもそうであるように、明らかにそのようなｎ個の自然数は存在する。）
ｎ個の自然数において、その内の１個以上の積は、同様に(２n−１)通りある。
また、(２n−１)通りのどのような積も平方数とはならないので、
(２n−１)通りの積に同一パターンが存在してはならない。
結局、許される(２n−１)通りの各パターンに、
(２n−１)通りの各積がそれぞれ１個ずつ存在することになる。
自然数を１個増やすと積は(２n+1−１)通りに増えるが、許されるパターンは不変である。
すると、追加した自然数が因数となる新たに増えた積にとっては、どのパターンにも既に先客の積が存在する。
それ故、ｎ種類の素因数による(ｎ＋１)個の自然数では、その内のある１個以上の積は必ず平方数となる。
ところで、２０以下の素数は、２,３,５,７,１１,１３,１７,１９ の８個。
よって、８種類の素因数による９個の自然数では、９個の内のある１個以上の積は必ず平方数となる。