『コンテストの問題』

【問題１】

x＞0 のとき、
x³⁶+x⁸+x⁴+1≧x¹⁵+x¹⁴+x¹³+x⁶
を示してください。

【問題２】

n を任意の自然数とします。
座標平面に、内部にちょうど n 個の格子点を含む円が描けることを示してください。

【問題３】

辺の長さが1の正方形を、半径Rの3枚の円板によって覆うことを考えます。
このような被覆が可能なRの最小値を求めてください。

【問題４】

非負整数 n に対し、
(x+1)²ⁿ⁺¹+xⁿ⁺² は x²+x+1 で割り切れることを示してください。

【問題５】

a, b が x⁴+x³-1=0 の根のうちの２つならば、
ab は x⁶+x⁴+x³-x²-1=0 の根であることを示してください。

【問題６】

平面上に三角形S, Tがあり、SはTの内部にあります。
このとき、Sの周長はTの周長より小さいことを示してください。