『分数の分割』

　紀元前２０００年頃の古代エジプトには、かなり高度な数学があったようですね。

今から百数十年前にエジプトのテーベで発見されて、イギリス人　Ｈ．リンドが保管していたリンド・パピルス（現在は大英博物館所蔵）には、当時の知識がまとめられています。
最もその文章を読むためには、暗号を解くのと同程度の努力が必要だったそうですが。

　
パピルス（Papyrus）がPaperの語源であるというのは有名ですね。
それでは，今回はリンド・パピルスの問題からの出題です。

　分子が２、分母が奇数である分数を考えます。
これは「分子が１で、異なった分母を持つ分数の和（３つ以上の分数になる場合もある）」で表すことができます。
例えば、

２
５＝１
３＋１
１５

２
７＝１
４＋１
２８

２
９＝１
６＋１
１８

【問題１】

２
１１　と　２
１３をそれぞれ

「分子が１で、異なった分母を持つ分数の和」で表してください。
後者の方は、３つの分数の和も考えてみてください。

【問題２】

一般に「分子が２、分母が奇数である分数」を「分子が１で、異なった分母を持つ分数の和」に表す方法を考えてください。

【問題３】（京都府　わかさひ君からの問題・高校生以上向き）

２
ｐ (ただし、ｐは３以上の素数) は、

２つの異なる単位分数の和として、一通りの方法でのみ表現可能であることを証明してください。

（青木注：分子が１の分数を単位分数といいます。）

【問題４】

２
ｎ (ただし、ｎは奇数の合成数)は、

２つの異なる単位分数の和として、二通り以上の方法で表現可能であることを証明してください。

(例えば、２
９＝１
６＋１
１８＝１
５＋１
４５ですね)

【問題５】

一般に、既約な分数ｍ
ｎ（ｍ＜ｎ）は、

異なるｍ個以下の単位分数の和で表現可能であることを証明してください。

参考までに、全ての４
ｎ（ｎ＞４）は、

３つの単位分数の和で表現可能であるかどうかは未解決の難問です。
(かなりの部分は解決されてますが)。

【問題６】（京都府　わかさひ君からの問題）

問題４の発展形として、ｎが合成数の時、２
ｎを

異なる二つの単位分数の和に表す方法は何通りあるでしょう？