『２進数と１０進数』

自然数nを2進数表示したものと同じ数字の並びを持つ10進数をmとします。
(例：n = 21のとき、その2進数表示は[10101]なので、m = 10101(10進数))

mがnで割り切れるようなnの集合をYとします。
(例：n = 21のとき、m = 10101 = 481 * 21 = 481nとなってnで割り切れるので、21∈Yです)

Yの要素について以下のことが簡単に確認できます。

(1)1∈Y
(2)ある自然数nがn∈Yならば、2n∈Y
(3)任意の自然数sについて、10^s∈Y
(4)5で割り切れる奇数はYに含まれない

さて、ここからが問題です。

【問題１】

n = 2^a + 1(aは自然数)のとき(m = 10^a + 1)、n∈Yとなるようなaは存在するでしょうか。
つまり、10^a + 1が2^a + 1で割り切れるようなaは存在するでしょうか。

【問題２】

n = 2^a - 1(aは自然数)のとき(m = 11...1(a桁))はどうでしょうか。

【問題３】

その他、Yの要素についてなにか面白い性質があるでしょうか。