『ベルヌイ数の謎』

【問題】

ベルヌイ数は様々な関数の展開に出てきた式です。
しかし、現在まではベルヌイ数の有限個の厳密な式がまだ発見されていません。
(Floor関数を使わない限り)
この問題はその謎を探って厳密な式を提案しました。

【問題１】

2^1-2n Σ
k₁,k₂,...,k_n≧0,k₁+k₂+...+k_n=n (2n)!
(2k₁+1)!(2k₂+1)!...(2k_n+1)! cos( 2π(k₁+2 k₂+...+n k_n)
n )

はB_2nであることを証明してください。

ただし、B_kはベルヌイ数で
x
e^x-1 を展開して得られた式です。

つまり x
e^x-1 = ∞
Σ
k=0 B_k x^k
k! です。

【問題２】

Σ
k₁,k₂,...,k_n≧0,k₁+k₂+...+k_n=n (2n)!
(2k₁+1)!(2k₂+1)!...(2k_n+1)! sin( 2π(k₁+2 k₂+...+n k_n)
n )
は０であることを証明してください。

【問題３】

(2n)! n
2^2n-1 n
Σ
r=1 r
Σ
t=1 Σ
1≦k₁<...<k_t; s₁,...,s_t>0;s₁+...+s_t=r;s₁k₁+...+s_tk_t=n (-1)^r-1 (r-1)!
(s₁)!(s₂)!...(s_t)! ((2k₁+1)!)^s₁ ((2k₂+1)!)^s₂...((2k_t+1)!)^s_t
はB_2nであることを証明してください。

【問題４】

1972年にCHOWLA氏とHARTUNG氏によって下記の式が提案されました。

B_2n= (-1)^n-1
2(2²ⁿ-1) ([φ_n]+1) n≧1 です。

ただし、[　]はFloor関数で、

φ_n= 2(2²ⁿ-1)(2n)!
2^2n-1π²ⁿ 3n
Σ
r=1 1
r²ⁿ です。

では、この式を証明してください。

余談ですが、問題４)の式はさらに1975年にHANS氏によって項数を減らす方法が提案されました。
また問題１)、３)、４)を見比べると和のところの項数は
順番に _2n-1C_n ， S(n) ， 3nになります。
ここで、S(n)は「果物分配」問題でn個のときの通り数です。

◆解答用紙はこちらです。

　◆数・数列の性質へもどる

　数学の部屋へもどる