『平均と数列』

【問題】

次の数列はある値に収束します。極限値と一般項を求めて下さい。

【問題１】

a₁=1，a₂=4，
a_n+2=√(a_n+1*a_n)，(n≧1)

【問題２】

b₁=1，b₂=4，

bn+2=2*bn+1*

bn bn+1+bn

，(n≧1)

【問題３】

c₁=1，c₂=4，
c_n+2=√(c_n+1*c_n)，(n≧1の奇数)

cn+2=2*cn+1*

cn cn+1+cn

，(n≧1の偶数)

ちなみに、最初の方はそれぞれ次のような値を取ります。

1，4，2，2，2*(2)^1/4，...

1，4，

8 5

，

16 7

，

32 17

，...

1，4，2，

8 3

，

4

，

16(2-3) 3

，

4√6(-1) 3

，...

【問題３のヒント】

適当な半径の円に内接／外接する正３角形、正６角形、正１２角形の全周を求め、数列との関係を考察してください。

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