sinθ
3
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【問題１】
loga2ａn=ｂn とおいて
b1 = 0、b2=1
2bn+2 = bn+1 + bn
2(bn+2- bn+1) = - (bn+1- bn)
| b | n | = | 1 - (-1/2)n-1 1 + 1/2 |
| b | n | = | 2 3 | * {1 - (-1/2) | n-1 | } |
a n= a2 [2/3 * {1 - (-1/2)^(n-1)} ] → a22/3
コメント：√の計算のくりかえしで立方根が求められます。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【問題２】
| 1 b n+2 |
= | 1 2 |
*( | 1 b n |
+ | 1 b n+1 |
) |
| cn= | 1 bn |
として |
| cn+2 | = | 1 2 |
*( | cn | + | cn+1 | ) |
| c n+2 - c n+1 = - | 1 2 |
*(c n+1 - c n) |
| c n = | 1 - (-1/2)n-1 1 + 1/2 |
( c2 - c1) + c1、n≧2 |
| =1 - | 1 - (-1/2)n-1 2 |
、n≧2 |
よって
| b | n | = [ 1 - | 1 - (-1/2)n-1 2 |
] | -1 | 、n≧2→ 2 |
◆出題者のコメント。
甘泉法師さん、ありがとうございます。
問題１、問題２ともに正解です。
問題１，２は、前二項の相乗平均／調和平均によって作られる数列は、
どのような値に収束するかという問題でした。
では、それを交互に行うとどうなるかというが問題３です。
一方は２4/3=2.5198...、もう一方は２が収束値なので、その間だろうと
予想され、実際その通りなのですが、どのような値になると思われますか？
「この問題は意外な問題と結びついています」を添えておきたいと思います。
もし、一週間程たっても、進展がなかった場合には、ヒントを出しますね。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【問題３】
C1=1
C2=4
C3=2
.......
調和平均
| 1 2 |
*( | 1 sinθ |
+ | 1 tanθ |
)= | 1 2tan θ/2 |
相乗平均
| √（sinθ・2tan | θ 2 |
)= 2 sin | θ 2 |
の関係があるのでDn=sinθ*Cn として
D1= sinθ
| D2=2 tan | θ 2 |
とおく。 |
| D2 D1 |
= | 1 cos2θ/2 | = 4 から |
| θ= | 2π 3 |
| D3=2 sin | θ 2 |
| D4=4 tan | θ 4 |
| D5=4 sin | θ 4 |
| D6=8 tan | θ 8 |
| D7=8 sin | θ 8 |
| D2m=2mtan( | θ 2m | ) |
| D2m+1=2msin( | θ 2m | ) |
Dn → θ よって
| Cn → | θ sinθ |
= | 4π 3 |
（コメント）
ヒントがなければ三角関数と関係があるとは気がつきませんでした。
指数関数を考えていましたが、それはC2＜1の場合のようです。
| C | 2 | ＞1、θ= 2 arccos √( | 1 C2 |
) |
| C | 2 | ＜1、θ= 2 arccosh √( | 1 C2 |
) |
双曲線関数でも逆数平均
| 1 2 |
*( | 1 sinhθ |
+ | 1 tanhθ |
)= | 1 2tanh θ/2 |
相乗平均
| √（sinhθ・2tanh | θ 2 |
)= 2 sinh | θ 2 |
の関係があるので
Dn= sinh θ*Cn として D1= sinh θ
| D2=2 tanh | θ 2 |
| D3=2 sinh | θ 2 |
| D4=4 tanh | θ 4 |
| D5=4 sinh | θ 4 |
| D6=8 tanh | θ 8 |
| D7=8 sinh | θ 8 |
| D2m=2mtanh( | θ 2m | ) |
| D2m+1=2msinh( | θ 2m | ) |
| Cn → | θ sinhθ |
（コメント２）
調和平均と相乗平均をとる順を逆にしても C1=1＜C2 なら
Dn= tanh θ*Cn として cosh θ=C2
D1= tanh θ
D2=sinh θ
| D3=2 tanh | θ 2 |
| D4=2 sinh | θ 2 |
| D5=4 tanh | θ 4 |
| D6=4 sinh | θ 4 |
| D7=8 tanh | θ 8 |
| D8=8 sinh | θ 8 |
| D2m+1=2mtanh( | θ 2m | ) |
| D2m+2=2msinh( | θ 2m | ) |
Dn → θ よって Cn → θ cothθ
C1=1＞C2 なら
Dn= tanθ*Cn として cosθ=C2
D1= tanθ
D2= sinθ
| D3=2 tan | θ 2 |
| D4=2 sin | θ 2 |
| D5=4 tan | θ 4 |
| D6=4 sin | θ 4 |
| D7=8 tan | θ 8 |
| D8=8 sin | θ 8 |
| D2m+1=2mtan( | θ 2m | ) |
| D2m+2=2msin( | θ 2m | ) |
Dn → θ よって Cn → θ cotθ
◆出題者のコメント。
完璧です。お疲れ様でした。
定数α、θに対し、
| Ｔ[n]=α*2 | n | *Tan( | θ 2n |
) ……（１） |
| Ｓ[n]=α*2 | n | *Sin( | θ 2n |
) ……（２） |
| Ｔ[n+1]= | 2*T[n]*S[n] T[n]+S[n] |
が成立します。
二つの定数を含んでいるので、これが、この問題で与えた漸化式を満たす数列の一般式になります。
問題では、c1＜c2で、相乗平均からスタートさせました。
c1＞c2として調和平均からスタートした場合も、これと同様ですが、
c1＜c2で調和平均からスタート、あるいは、c1＞c2で相乗平均からスタートの場合は、ご指摘のように、双曲線関数での表現が可能なようですね。
ただし、これは、（１）や（２）のα、θに純虚数を入れた場合に相当しそうですね。
ところで、Ｓ[n]、Ｔ[n]の幾何的意味は明かです。
半径α、中心角θの扇形の円弧の長さを、それぞれ、内側から、外側から評価する式になってます。
円に内接／外接する正多角形を通して、円周率を求めようとした歴史がありますが、実はその問題と関わりを持つものでした。