『平均のｒ乗とｒ乗の平均の不等式』

【問題１】

a，b，r を a ＞ 0，b ＞ 0，r ＞ 1 を満たす実数とする。

x ＞ 0 の範囲で定義される関数

g(x) = a x^r - b x + (r - 1)

において，任意の x ＞ 0 に対して常に

g(x) ≧ 0

が成り立つための必要十分条件は

a r ≧ b^r

であることを証明せよ。

ただし x^r や b^r は，自然対数を用いた式

x^r = e^{r log x}などの右辺の略記法とする。

（注）自然対数などが未習の人は，問題１〜３で r を整数として考えてもかまいません。

【問題２】

r，x_i，p_i を

r ＞ 1

x_i ＞ 0，p_i ＞ 0　（i = 1，2，…，n)

n �� i=1

pi = 1

を満たす実数とする。このとき，前問の結果を用いて，不等式

n �� i=1

pixir ≧ {

n �� i=1

pi xi}r

を証明せよ。

【問題３】

r を r ＞ 1 を満たす実数とし，x(t)，p(t) は

x(t) ＞ 0，p(t) ＞ 0　（α≦t≦β)

β ∫ α

p(t) dt = 1

を満たす t の連続関数とする。このとき，不等式

β ∫ α

p(t) x(t)r dt ≧ {

β ∫ α

p(t) x(i) dt}r

を証明せよ。

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