『ａ＋ｂ√2＝0』

東京都　ユウプーさんからの問題です。

【問題１】

ａ，ｂが有理数のとき

ａ＋ｂ＝0⇒ａ＝ｂ＝0

であることを示せ．

【問題２】

ａ，ｂ，ｃが有理数のとき

ａ＋ｂ＋ｃ＝0⇒ａ＝ｂ＝ｃ＝0

であることを示せ．

【問題３】

ａ，ｂ，ｃ，ｄが有理数のとき

ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝0⇒ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝0

であることを示せ．

【問題４】

n≧1,ａ₀,ａ₁,ａ₂,…,ａ_nが有理数,
P₁,P₂,…,P_nは相異なる素数とするとき

ａ₀＋ａ₁√P₁＋ａ₂√P₂＋…＋ａ_n√P_n＝0⇒ａ_j＝０(j=0,1,2,…,n)

であることを示せ．

【感想】

(i)～(iii)は高校時代に教科書や受験の参考書で見られた方も多いと思います。
(iv)はそれの一般化です。
一見明らかそうですが、(iv)はなかなか難しいです。

高校生でも理解出来る様な解答(教科書に載ってるものだけを使う感じ)を見つけてもらえたら嬉しいです。

ちなみに、√の中身を素数としましたが、もっと一般化されます。