◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１解答】 N+1個
【証明】
１次元では2個、2次元で３個、３次元で４個であるからN次元でN＋１個と予測される。
また点間距離を１とするとき、重心と点の距離は
１次元では√(1/2*2)、2次元では√(2/2*3)、３次元では√(3/2*4)であるので、
N次元では√(N/2*（N+1）)と予測される。
いまN次元において、点間距離がすべて１である点の最大数がN+1で、
重心との距離が√(N/2*（N+1）)であるとする。 --(1)
N＋１次元において、点間距離がすべて１である点がｍ個あるとし、そのうちからN＋１個の点を取り出すとする。
これらのN+1個の点はそれらの重心Oを原点とする座標系において、ある方向Dに直行するN次元の空間の点として表すことが可能である。
又逆に（１）により残りのｍ-N-1,個の点はD方向の成分を必ず持たなければならない。
なお、これらN+1個の点の原点Oから距離は（１）より√(N/2*（N+1）)である。
残りのｍ-N-1個の点はN+1個の点から全て１の距離になければならないので、Dに直交する成分が全て等しくなければならず、それは直交する場合だけである。
（線形代数による。詳細略）
よって、残りのｍ-N-1個の点はD方向上の点でなければならず、あっても最大両側2個である。
ところが重心Oとの距離は
√（１-N/2(N+1)）=√（（N+2）/2(N+1)）＞1/2であるのでこの2点間の距離は１を超過し、一方のみ採用可能です。
よってｍ＝N+2です。
またこれらｍ個の重心O’からの距離は
(N+1)/(N+2)√（（N+2）/2(N+1)）=√（（N+1）/2(N+2)）
で(1)においてN=N+1とした場合になっています。
以上
【問題２解答】
すくなくとも N＝2k-1, のとき存在する。
K：非負整数
Ｎが偶数で、Ｎ＋１が平方数でない場合は存在しない。
【まえおき】
RN空間は座標値の正負により2N個の象限に分けられ、
N+1がその約数（2k）なら各点を均一に振り分けることが可能であり、可能性が高いと言えます。
【条件変換】
本問題の条件を整理すると、次の連立2次ディオファントス問題になります。
ANT*AN=Ｃ*(Ｎ*ＩN-DN) ----(2)
ここで AN：N×N整数値行列、Ｃ：整数
D N ：N×N行列で対角成分が0、非対角成分が1のもの。
∵N次元において解が存在したとするとき、その座標値をN＋１倍したものを考えるとその重心も格子点上である。
従って、重心が原点であるとして一般性を失わない。
そのような座標において、N+1個の頂点の座標を列ベクトルとして並べたN×N+1の行列をBNとする。
このとき、条件より
BNT*BN＝α*ＩN+1＋β*DN+1 -----(3)
と表すことができます。
ここでαは原点から頂点までの距離の2乗、βは2頂点間の内積値で整数です。
ところで要素が全部１の列ベクトルをSNとするとき、
原点を重心に採っているので、BNT *SN+1＝0です。
従って、BN ＝（AN，- AN* SN）です。
(3)に代入すると、
以上と(3)より
ANT*AN＝α*ＩN＋β*DN であり、
-ANT*AN* SN＝β*SNでなければなりません。
すなわち ｛-α*ＩN-β*DN｝*SN＝βSN です。
計算すると、-α-（Ｎ-1）β＝βより
α＝ＣＮ、β＝-Ｃ、Ｃは整数です。
即ち(2)式です。
【実例 N=1のとき】
Ａ1＝１とすれば ANT*AN＝１ で(2)の形になっています。
【実例 N=３のとき】
とおけば、ANT*ANの対角成分は３、非対角成分は-1,になっており、(2)の式になっています。
【N=2k-1,C=1のとき】
とおけば、
すなわち XT*X＝(2N+1)*IN-DN であって
X＝A2N+1の性質をもち、2N+1=2k+1-1,C=1です。
たとえばＮ＝７のとき下記のようにＡ3を用いて作成できます。
【その他の場合で分かるもの】
(2)式の行列式をとると下記である。
｜Ａ｜2＝ＣN（Ｎ＋１）N-1
従ってN=2Mであるときは
｜Ａ｜2＝（ＣM（Ｎ＋１）M-1）2＊（Ｎ＋１）より
Ｎ＋１が平方数でなければならない。
従って Ｎ＝2、4、6、 10、12、14、16、18 。。。は存在しない。
逆にＮ＝８（Ｃ＝2）は下記のような解等多数が存在している。
なお、次のＮ＝24についてはＰＣ探索の限界を超えており未確認である。
一方、N=2M＋１であるときは
｜Ａ｜2＝（ＣM（Ｎ＋１）M）2＊Ｃより、Ｃは平方数でなければならない。
Ｎ＝５の場合をＰＣでＣ＝１2〜232まで探索したが解はなかった。
Ｎ＝７は前述のとおり存在し、Ｎ＝９，Ｎ＝１１についてもＰＣで探索して下記の解等を得た。
Ｎ＝１３はなさそうであるが、ＰＣの限界を超えて未確認である。
確認できたもの
可能：１、３、７、８、９、１１、１５、２K−１
不可能：２、４、６、１０、１２、１４、１６、Ｎ＋１が平方数でない偶数
？：５、１３
【ＰＳ】
ここのところこの問題をずっと考えていたのですが、難しい問題です。
長期間解答者がないようですので、途中ですが報告いたします。
Ｎ＝５がないこと（？）を証明したいですね。
◆出題者のコメント。
解答ありがとうございます。
実はこの問題、私には手におえないのでここに出しました。
問題１に関しては教科書を見れば載っているだろうと思い軽く考えていたのですが、
問題２は一筋縄では行かないだろうと思っていました。
N=5の時について、私も調べますので頑張りましょう。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
N=5 に関し、剰余類でのふるい落としを試みましたが、、C=P2とするとき
４の剰余類検査の場合に P=1,3 mod 4 が排除される以外は良い結果が得られませんでした。
なお 引き続き P=２４、２６、２８、３０、３２で存在しないことを確認しました。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題２解答追加】
（Ｉ）ANからA２N＋１を作成する
N＝2k-1から, N＝2k+1-1を作成した方法を拡張して
ANからA２N＋１を作成する方法を示し、可能な範囲を広げます。
【Ｃ＝Ｐ2の場合】
ANT*AN=Ｐ2*(Ｎ*ＩN-DN) ----(2’)
ここで P：自然数その他(2)に同じ
が成立しているとき、2N+1×2N+1の行列を次のように作ります。
なおＳNＳNt＝ＩN＋ＤNです。
従って、Ｘは(2)の条件を満足す行列です。
以上から ２k−１以外にＮ＝９やＮ＝１１を始めとして
Ｎ＝１０*２k−１, Ｎ＝１２*２k−１
すなわち、９、１９、３９，７９，．．．や１１、２３、４７、９５，．．．も可能であることが分かります。
【Ｃ＝２Ｐ2の場合】
ANT*AN=２Ｐ2*(Ｎ*ＩN-DN) ----(2’)
ここで P：自然数その他(2)に同じ
が成立しているとき、2N+1×2N+1の行列を次のように作ります。
従って、Ｘは(2)の条件を満足す行列で Ｃ＝Ｐ2のタイプです。
以上から Ｎ＝８を始めとしてＮ＝９*２k−１、
すなわち、８、１７、３５、７１，．．．も可能であることが分かります。
【その他Ｃ＝ＴＰ2の場合】
Ｔ＝１ の場合を （１、１、Ｐ）
Ｔ＝２ の場合を （３、４、５Ｐ）
であらわすとき
Ｔ＝１０： （１、２、５Ｐ）
Ｔ＝２０： （１、３、１０Ｐ）
Ｔ＝２６： （２、３、１３Ｐ）
等があります。
（ＩＩ） ＡNからＡ10N+9 Ａ9N+8 を作成する
a×b行列 R と c×ｄ 行列 Ｅ があって
Ｒの要素をＥ倍（スカラー倍）したac×bd行列 Ｑを造る操作を
Ｒ♀Ｅで表記します。
具体的には ｛Ｒ♀Ｅ｝i*c+j,k*d+l＝Ｒi,ｋ*Ｅj,lです。
また、 (2)式はＢNT*ＢN=Ｃ*(Ｎ*ＩN+1-DN+1) ----(2’’’)
と等価です。
L×L行列 Ｒ が Ｒt*Ｒ＝Ｌ*ＩLであり
ＱがT*Ｐ2系で(2)を満たすもののＢ型（２’’’式）であるとき、
T*Ｐ2系のＡNから得られたＢNを元に作成した次の行列は
(2)を満足するT*Ｐ2系の行列（ＢLN+L-1）です。
したがって、一般に （Ｎ＋１）Ｌk−１の系列が作成可能になります。
具体的には（Ｒ、Ｑ）としてすくなくとも下図の２組（Ｌ＝１０，Ｔ＝１系とＬ＝９、Ｔ＝２系）がありました。従って
２*１０k−１＝１、１９、１９９、１９９９
４*１０k−１＝３、３９、３９９、３９９９
８*１０k−１＝７、７９、７９９、７９９９
１０*１０k−１＝９、９９、９９９、９９９９
１２*１０k−１＝１１、１１９、１１９９、１１９９９
１６*１０k−１＝１５、１５９、１５９９、１５９９９
や
９*９k−１＝８、８０、７２８、６５６０
が可能です。
【Ｒ10×10】
Ｑは先に示したＣ＝１のＢ9を用いて Ｑ＝Ｐ*Ｂ9とする。
【Ｒ9×9】
Ｑは先に示したＣ＝２のＢ8を用いて Ｑ＝Ｐ*Ｂ8とする。
◆埼玉県 \aleph_0 さんからの解答。
【問題２解答】
Y.M.Ojisan氏の結果を含め，解答をレポートの形にまとめてみました．
（青木注：上位互換バージョン（PDFファイル）がでたので、削除しました。）
ただし，記述を簡単にするためにnが一つずれているのでご注意ください．
また，趣味で文字や記号も多少（かなり？）変えましたがご了承ください．
なお，定理1および命題2はY.M.Ojisan氏の結果を書き直したものです．
謝辞：この問題の面白さを教えてくださったY.M.Ojisan氏に感謝します．
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題２解答追加２】
Ｎ＋１が平方数のとき作成可能で、それはＣ＝Ｐ2タイプである。
∵ Ａ0点を(-1,-1,-1,・・・-1)t に固定し、ＡI点をI成分のみXであるとする。
ＡI=(0,0,・・・X,・・・0)t
このときAIとAJ (I＞0,J＞0)間の距離2は2X2で、
A0とAJ (J＞0) )間の距離2はX2+2X+Nである。
以上から N=X2-2X=(X-1) 2-1が得られる。
即ちNが平方数−１であるとき存在する。
| 重心は | X-1 N+1 | *{ 1,1,1,・・・,1} tであるから |
| N*( | X-1 N+1 | +1) | 2 | = | N*X2 (X-1)2 | である。 |
以上から N=３、８、１５、２４、３５、４８、が可能であることが分かった。
特にN=8のＣ＝Ｐ2タイプが存在するので ９N+８倍の創生や８を種にした創生も可能である。
先の結果とまとめると、Nが偶数の場合は 平方数−１のとき存在し、それ以外では存在しないことが確定した。
【PS】
（１）以上を書いたところで \aleph_0さんの美しい論文が発表されました。
今回の解答は\aleph_0定理３と同じ内容なのですが、思考過程が見えるので良いかなと思い、提出しました。
（２）さて、\aleph_0さんの定理と合わせて１００までをチェックすると下図です。
まだまだ白いところがあります。
紫：命題２で存在しない。
青：存在する。
緑：定理３で存在。
黄色：定理５で存在。
橙色：定理４で存在。
白：不明。
（注記：記述順優先で色付けしてあり、重複して見えないのが多数あります。）
（３）頂点の一つを原点とした場合
tＦN*ＦN＝ｓ｛IN+UN｝
ｓ＝｛N＋１の奇数冪因数の積｝*P2
という方程式も出てきます。
FN*AN=Ｚ*ＩN という関係もあり、双対空間での議論の展開があるかも。
Ｕは全要素１の行列。
◆埼玉県 \aleph_0 さんからの解答。
【問題２解答】
前回の解答の続報です．
（PDFファイル）
"I"を別の意味で使ったため単位行列は"E"になっているのでご注意ください．
n∈Sとなるための十分条件は前回よりかなり広がりました．
一方，必要条件も命題3, 6, 7の場合で尽くされていると予想はされますが，
証明は難しそうです．
特にn=6（5次元）の場合を早く解決したいですね．
◆埼玉県 \aleph_0 さんからの解答。
懸案のn=6（5次元）の場合が解決できたと思います．
PDFファイル
方針は，定理4のrを割り切る2の巾に関する無限降下法です．
したがって，mod 2やmod 4での議論を多用しています．
内容は大したことをしていないのですが，
場合分けが多い上に説明が下手なのでやたらと長いです．：）
n≡6 (mod 8)の場合に拡張できるといいのですが，このままではとても通用しなさそうです．
というわけで，ご質問，ご指摘，歓迎です．
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
おめでとうございます。
５次元がわかれば一気に解決とはいかなかったのは残念です。
縮小（祝勝）行列 Ａ／４の発見が味噌ですね。
頂点の一つを原点とした場合の
Ｆt5Ｆ5＝Ｃ（Ｉ5＋Ｕ5）＝３Ｐ2（２Ｉ5＋２Ｕ5）を用いれば
fi*fi≡０ (mod 4)
fi*fj≡０ (mod 2) i≠j
であること、および Ａ／４ の固有値＝０．５ で矛盾を言えばさらに簡素化できそうです。