『ゴミの運搬』解答

◆東京都の中学校３年生　歩安彼 さんからの解答。

【問題２】のみです。
（間違っているかもしれませんが…）

【命題】

点A,B,CにそれぞれM,N,Lの重さの錘があるとする。
このとき、負担が最小に成るPは、もし在れば

（条件）：M・→(PA)+N・→(PB)＋L・→(PC)=0

をみたすP,そうしたものが存在しなければ,A,B,Cのいずれかである。

【証明】

Pの存在は明らかであろう。
（閉集合上の連続関数には最小値が存在）

まず、Pは三角形ABCの内部（辺含む）にあることを示す．
（A,B,Cが一直線上にある場合も広義に三角形と考えてよい）

何故なら,そうした点Pが外部にあると仮定しよう．
すると、三つの点のうちちょうど一つがPと、のこりふたつの点を通る直線によって分断される。
このとき、その直線へのPの垂線の足Hのほうが、負担が小さいことは明らかである。

さて、Pが求めるべき点（ただしA,B,Cではない）だとしよう。
Pを通る適当な直線Xを設定し、P:０、Q∈Xにたいして長さPQ（向きつき）を対応させるような座標を入れる。
これによってx:実数にその点までの負担を対応させる関数がつくれる。
それをｆとしよう。

このとき、Pは最小値なので

df dx

(P)=0でなければならない。

また、角aを、APと、Xのなす角としよう。
b,cも同様に定める。
ただし、直線の上の向き（二つある）のうち一つを定め,その向きにXを動かしたときに,増大するなら鋭角を、減少するなら鈍角をさだめる。
このとき、

df dx

=0 ⇔ M・cos a+N・cos b+L・cos c=0

（微分の計算を考えれば明らか）

∴M・→(PA)+N・→(PB)＋L・→(PC)をXに射影したものは0ベクトルである。
このことが任意のXについて成りたつということは、即ちそのベクトルが0ベクトルであることを示している．

結局、A,B,CでないPが最小だとすると、それは条件を満たす点でなければならない。
逆に、そうした点がないのだとすれば、負担が最小になる点はABCの内部に必ずあるのだから、A，B，Cのいずれかである。
その点を求めるのは容易である。

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

エネルギーが距離と重さの積であるので、エネルギーの井戸の形は、各ゴミに付き逆さ直円錐（問題１解答図１参照）である。
全体のエネルギーはこれらの和であり、解答はその最小値点である。(図３参照)

　逆さ直円錐は全域において弱い意味で下に凸である。
従って、その和も全域において弱い意味で下に凸である。
以上から全体のエネルギー井戸は極小値点を１つないし１連続領域でしかもたず、
最小値＝極小値である。

【問題１】

ある点から各頂点に向かう単位ベクトルをE₁〜E₃とするとき、
０＝E₁＋E₂＋E₃であれば微小変位εにたいして、
エネルギーの和の変化はε^２のオーダーであり、ある点は極小点である。
即ち各頂点の方向が１２０度毎対称である点が最適点である。

　ただし、三角形の頂角の最大値が１２０度以上の場合はそのような点は無く、最適点は鈍角の頂点である。

図１　問題１通常解

図２　問題１特異解

図３　全体エネルギー井戸

【問題２】

各頂点のゴミの重さをW₁〜W₃とするとき（図１）、問題１同様
０＝W₁E₁＋W₁E₂＋W₁E₃である点において全体エネルギーは極小となる。
なお、問題１同様、その様な点が無い場合は３角形の頂点のいずれかが最適点である。

作図による具体的な方法を下図に示す。
辺の長さがゴミと同じ回転方向にW₁,W₂,W₃である三角形を作図し、各対応する辺に平行な方向にゴミがある点である。
円周角の性質を利用すれば作図で求められる。

【問題３】

　全体エネルギー井戸の最小点と極小点が同じなので数値計算的には楽である。
一方ゴミのある地点は円錐の頂点であり、全体エネルギー井戸形状が尖鋭的（カタストロフィック）なので数値計算は収束困難になる。よって、

（１）まず、各頂点が極小点であるか無いか全点チェックする。
極小点であれば、そこが最適点である。

　チェック方法は、自身以外のゴミが自身位置に作り出す全体エネルギー井戸の最大傾きが、自身単独で作り出すエネルギー井戸の傾きより小さければ極小点ではなく、
そうでなければ極小＝最適点である。

（２）（１）で何れのゴミ位置も極小点でなれば、適当な場所（ゴミ位置の中で最小エネルギーの位置等）から最大傾斜の方向に移動して行く方法により、最適点に収束する。

【問題３　例】

◆山梨県　Footmark さんからの解答。

【問題１】

問題は、任意に与えられた異なる３点Ａ,Ｂ,Ｃの同一平面上において、
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ が最短になる点Ｐの位置を求めることになります。

すると、この問題は１７世紀にフェルマーが物理学者トリチェリに出題した作図問題と同じです。

多くの解法がありますが、シュタイナーの解法は特に有名です。
そのため、シュタイナーの問題と呼んでいる書物もあります。

解答は『最短シュタイナー問題』に出題者より詳しく示されているのでそちらに譲ります。

【問題２】

【問題１】も含めた３点での一般解になります。

与えられた異なる３点 Ａ,Ｂ,Ｃ は一直線上にあるか△ＡＢＣを形成するかのどちらかです。
一直線上にある場合も押し潰された三角形と解釈すれば、求める位置は△ＡＢＣの内部(辺を含む)にある筈です。
（直感的にも容易に理解できるので証明は省略）

[ 最も重いゴミが、残りすべてのゴミの合計の重さ以上の時 ]

求める位置は、最も重いゴミのある位置になります。
（このことは【問題３】でも成立します）

【証明】

上図で点Ａにあるゴミが最も重く重さを 青＋赤 とします。
点Ｂ,点Ｃにあるゴミの重さをそれぞれ 青,赤 とします。
Ａ以外の任意の位置に点Ｐをとります。
（与えられた３点が、一直線上にあっても三角形を形成しても構いません）

図からも明らかに

青ＡＢ≦青ＡＰ＋青ＢＰ
赤ＡＣ≦赤ＡＰ＋赤ＣＰ

等号が成立するのは、Ｐが線分ＡＢ上や線分ＡＣ上にある場合です。

∴　青ＡＢ＋赤ＡＣ≦青ＡＰ＋青ＢＰ＋赤ＡＰ＋赤ＣＰ

[ 最も重いゴミが、残りすべてのゴミの合計の重さ未満の時 ]

３点Ａ,Ｂ,Ｃにあるゴミの重さをそれぞれのＷ(a),Ｗ(b),Ｗ(c)とすると、
３辺の比 ＹＺ：ＺＸ：ＸＹ が Ｗ(a)：Ｗ(b)：Ｗ(c) となる △ＸＹＺ が必ず存在します。

その時、ＹＺ,ＺＸ,ＸＹ の３辺に向かい合ったそれぞれの頂角Ｘ,Ｙ,Ｚの角度(ラジアン) α(＞０),β(＞０),γ(＞０) は、一意に決定します。

すると、与えられた３点 Ａ,Ｂ,Ｃ より得られる ∠ＣＡＢ,∠ＡＢＣ,∠ＢＣＡにおいて

(１）∠CAB＜π−α かつ ∠ABC＜π−β かつ ∠BCA＜π−γ
(２）∠CAB≧π−α または ∠ABC≧π−β または ∠BCA≧π−γ

当然のことですが、(２)のケースには３点 Ａ,Ｂ,Ｃ が一直線上にある場合も含まれます。

(１）∠CAB＜π−α かつ ∠ABC＜π−β かつ ∠BCA＜π−γ の時

●上図のように△ＡＢＣの各辺の外側に △ＸＢＣ,△ＡＹＣ,△ＡＢＺ の３つ三角形を作図します。
この時、∠Ｘ＝α , ∠Ｙ＝β , ∠Ｚ＝γ になるようにします。
(図の黒線のように敢えて ＹＡＺ,ＺＢＸ,ＸＣＹ を一直線にする必要はありません)

●作図した３つの三角形のそれぞれの外接円を作図します。

●３つの外接円は△ＡＢＣの内部(辺を含まない)の１点Ｐで交わり、点Ｐが求める位置になります。

直線ＡＰ,直線ＢＰ,直線ＣＰ の交差角は参考図１のようになり、明らかに３つの円は１点Ｐで交わります。
また、α＞０,β＞０,γ＞０ ですから、点Ｐは△ＡＢＣの内部(辺を含まない)にあります。

【最小エネルギーである証明】

３点Ａ,Ｂ,Ｃにあるゴミの重さをそれぞれ Ｗ(a),Ｗ(b),Ｗ(c) とし、
上図のように３辺の長さが ＹＺ＝Ｗ(a),ＺＸ＝Ｗ(b),ＸＹ＝Ｗ(c) となる△ＸＹＺを作図します。

△ＸＹＺの内部(辺を含まない)の任意な位置に点Ｐをとり、
Ｐより３辺 ＹＺ,ＺＸ,ＸＹ に下ろした垂線の交点をそれぞれ Ａ,Ｂ,Ｃ とします。

もう１点、△ＸＹＺ の内部(辺を含まない)でＰとは別な位置に点Ｑをとり、
Ｑより３辺ＹＺ,ＺＸ,ＸＹ に下ろした垂線の交点をそれぞれ Ａ',Ｂ',Ｃ' とします。

すると直角三角形の斜辺と他の１辺の関係等より、

線分ＡＱ≧線分Ａ'Ｑ ,
線分ＢＱ≧線分Ｂ'Ｑ ,
線分ＣＱ≧線分Ｃ'Ｑ

等号が成立するのは上から、ＡとＡ' , ＢとＢ' , ＣとＣ' がそれぞれ重なる時です。
ところがＱはＰとは別な位置なので、２箇所以上が同時に重なることはあり得ません。

∴W(a)*線分AQ＋W(b)*線分BQ＋W(c)*線分CQ＞W(a)*線分A'Q＋W(b)*線分B'Q＋W(c)*線分C'Q 

Ｓ＝	W(a)*線分AP＋W(b)*線分BP＋W(c)*線分CP ２

点Ｑを頂点にした３つの三角形を合わしたものと考えると

Ｓ＝	W(a)*線分A'Q＋W(b)*線分B'Q＋W(c)*線分C'Q ２

∴W(a)*線分AP＋W(b)*線分BP＋W(c)*線分CP＝W(a)*線分A'Q＋W(b)*線分B'Q＋W(c)*線分C'Q
∴W(a)*線分AQ＋W(b)*線分BQ＋W(c)*線分CQ＞W(a)*線分AP＋Ｗ(b)*線分BP＋W(c)*線分CP

【別解】

重さが Ｗ(a),Ｗ(b),Ｗ(c) の３つゴミを同一距離運搬すると、
各ゴミの運搬で使われるエネルギーの比は Ｗ(a)：Ｗ(b)：Ｗ(c) です。

ですから次のように問題を置き換えても解は一緒です。

移動の速さが

１ Ｗ(a)

,

１ Ｗ(b)

,

１ Ｗ(c)

の別々の位置にいる３人を、

何処に集合させれば各自の所要時間の合計が最少になるでしょうか？
（同一距離を移動させると、各自の所要時間の比もやはり Ｗ(a)：Ｗ(b)：Ｗ(c) になります）

このように考えると『最少時間の経路』同様に、フェルマーの原理が利用できます。

上図で点Ｐが求める位置であるなら、フェルマーの原理より、

１ Ｗ(b) １ Ｗ(c)

＝

sinγ sinβ

１ Ｗ(c) １ Ｗ(a)

＝

sinα sinγ

１ Ｗ(a) １ Ｗ(b)

＝

sinβ sinα

∴

Ｗ(a) sinα

＝

Ｗ(b) sinβ

＝

Ｗ(c) sinγ

これは正弦定理より、辺の長さが Ｗ(a),Ｗ(b),Ｗ(c)である三角形の向かい合った頂角はそれぞれ α,β,γ になる ことを表しています。
ですから、既に示した参考図１の関係が得られます。

(２）∠CAB≧π−α または ∠ABC≧π−β または ∠BCA≧π−γ の時

∠ＣＡＢ≧π−α の時を例にとると、直線ＡＰ,直線ＢＰ,直線ＣＰ の交差角は参考図２のようになり、
△ＸＢＣ,△ＡＹＣ,△ＡＢＺ の３つの外接円は△ＡＢＣの外部(辺を含む)の１点Ｐで交わります。

仮に与えられた３点が Ｑ,Ｂ,Ｃ で、その時の求める位置が点Ａだとすると、点Ｑのとり得る位置は、図の点Ａを端(点Ａを含む)にした点Ｐを通る半直線上の筈です。
ですから、与えられた３点が図の Ａ,Ｂ,Ｃ なら求める位置は点Ａです。

∠ＡＢＣ≧π−β の時や ∠ＢＣＡ≧π−γ の時も同様なので

∠ＣＡＢ≧π−α(＝β＋γ) なら求める位置は点Ａ
∠ＡＢＣ≧π−β(＝γ＋α) なら求める位置は点Ｂ
∠ＢＣＡ≧π−γ(＝α＋β) なら求める位置は点Ｃ

∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＡ＝α＋β＋γ＝π ですから
上の３つの式の２つ以上が同時に成立することはあり得ません。

これらの式より当然のことですが、最も重いゴミが残りすべてのゴミの合計の重さ未満なら、一直線上に並んだ３つのゴミは中央のゴミの位置に運搬すれば最小エネルギーになります。

[ Ｐ・Ｓ ]

３つのゴミの重さを三辺の比(ＹＺ：ＺＸ：ＸＹ)とした△ＸＹＺが存在し、しかも３辺上にそれぞれある３つのゴミを３辺と垂直な方向に見ることのできる位置が、△ＸＹＺの内部(辺を含む)にある場合は、その位置が求める位置になります。
この位置は、△ＸＹＺを左に９０°回転させてみれば Y.M.Ojisan さんが示された方向と一緒になります。

◆宮城県　甘泉法師 さんからの解答。

問題をより簡単にして１次元にする。
下図のように２点に質量がある場合、

　　A　　　　　Ｇ　　　　　　B
　Ma○----------｜-----------○Mb
　　　　　ｚ　　　　L-ｚ

Ma ｜ｚ｜　＋　Mb ｜L-ｚ｜＝Ｆとおいて、求める点Ｇではこれが極小。
Ｆをｚで微分したものが０との式は、

Ma ｓｇｎ（ｚ）　＋　Mb ｓｇｎ（ｚ- L）　＝　０、
ｓｇｎは符号関数、すなわち

　ｓｇｎ（ｚ）＝　１、ｚ＞０
　ｓｇｎ（ｚ）＝−１、ｚ＜０。

よって

Ma＞Mb　ならば　ｚ＝０　点Ｇは点A。
Ma＜Mb　ならば　ｚ＝L　点Ｇは点Ｂ。
Ma＝Mb　ならば　０＜ｚ＜L　点ＧはAとBの間にある任意の点、

もっと一般的に　
区間[ξ、ξ＋ｄξ]に質量ρ（ξ）ｄξが分布している場合には

Ｆ＝∫ρ（ξ）｜ｚ−ξ｜ｄξ。

これが最小になるようなｚの条件式、

∫ρ（ξ）ｓｇｎ（ｚ−ξ）ｄξ＝０。

つまり、点Ｇはその左右の質量が等しい点。

２次元以上の場合を同じように考える。

Ｆ＝∫

→ ρ(ξ)

｜

→ ｚ

−

→ ξ

｜ｄＶ

Ｖは面積（２次元の場合）または体積（３次元の場合）。

Ｆが極小であるとの式

∫

→ ρ(ξ)

(

→ ｚ

−

→ ξ

)/｜

→ ｚ

−

→ ξ

｜ｄV＝　０

つまり、「点Ｇから引いた単位ベクトルＸ質量」の和が０になることがＧの条件。

簡単な場合として問題１では、点Ｇは三角形の各頂点からＧに引いた線分がそれぞれ１２０度で交わるような点。

ＰＳ　物理の同じ問題

平面上にあるＹ字に結んだ３本の糸を三点に置いた滑車に掛ける。
その先に同じ重さの錘をつけて引っ張るとＹ字のなす角度はいくらになるか。

◆宮城県　甘泉法師 さんからの解答。

ＰＳ　先の回答が正しいとして問題１の点を求める作図法です。

三角形の頂点をA、B、C、そこにある質量をMa、Mb、Mcとします。
求める集積所を点Gとすると条件は

Ma　X

→ GA

/

→ ｜GA｜

+

Mb

X

→ GB

/

→ ｜GB｜

+MｃX

→ GC

/

→ ｜GC｜

= 0.

この３つのベクトルからなる３辺の長さがMa、Mb、Mcである三角形Pを作図するとその外角（１８０度-内角）が∠AGB、∠BGC、∠CGAとなる。

外角が∠AGBと等しい内角（これは長さMｃの辺の対角）を半直線を引いて適当に２分する。
出来た２つの角を、線分ABのそれぞれ点A,Bを頂点として点Cのある側にコンパスを使って移植する。
移植した角をなす２つの線の交点をQとすると、３点A,B,Qは、大弧ABの円周角が∠AGBである円の円周上にある。
線分ABと線分AQのそれぞれの垂直２等分線の交点が円の中心になり、円が作図できる。

以上と同じことを線分BCか線分CAのどちらかに施し作図した円と先の円の交点がGである。

三角形Pが作図できない場合、たとえばMa＞Mb+Mcなら点Aが集積所。

なお、前の回答で「微分して０」というのは、微分係数がある区間の値をとる多価であって、その区間に０が含まれる、というように広く解釈ください。
たとえば三角形の頂点には何本も接線が引けますが、そのうち接線の傾きが０になるようなものがあれば、「微分して０」というような使い方です。

◆宮城県　甘泉法師 さんからの解答。

【問題３】

先の回答が正しいとして、問題３を考えます。

求める集積所を点Ｏとして次のように三角形ABCの各部を名づける。

線分ＯＡの長さ＝ｒ₁、線分ＯBの長さ＝ｒ₂、線分ＯCの長さ＝ｒ₃。
∠ＡＯＢ＝φ₁、∠ＢＯＣ＝φ₂、
∠ＣＯＡ＝φ₃＝２π−φ₁−φ₂。
∠ＢＡＯ＝ω₁、∠ＯＢＣ＝ω₂、∠ＯＣＡ＝ω₃。

複素平面の座標原点に点Ｏを置き、実軸正に線分ＯＡを重ねる。
点Ｏから偏角θ〜θ＋ｄθで見こんだ、△ＡＢＣの部分面積をｄＳとすると
exp(iθ)・ｄＳを1回転、積分したものが０にならねばならない。

この関係式を整理すると

Σ ｊ

ｒj2

sin ωj　K（ωj　,φj ） exp

(i

Σ p<j

φp

) ＝　０

K（α,β）≡

β ∫ 0

exp(iξ)2cosec (ξ+α）ｄξ

たとえば

のようにωはｒ、φにより一義的にきまるので、
独立なパラメ−タはｒ₁、ｒ₂、ｒ₃、φ₁、φ₂の５つにとれる。

次に△ABCを規定するパラメ−タは３つ、たとえば3辺の長さや2辺とその間の角、なので、
これを使って　変数を5-3＝２個におとせる。
点の位置を指定するには必要十分な数である。
式は実部、虚部の２つであることも整合的である。

【感想】

1. 最初は求める点は内心でないかと考えたのですがどうも違うようです。

2. 計算間違いをしているかもしれません。
   また、この式が正しいとして、どういう点なのかこれ以上の解釈はできていません。

◆宮城県　甘泉法師 さんからの解答。

【PS　問題３　二等辺３角形の場合】

先の関係式を二等辺３角形AB＝ACの場合について考える。

対称性から、ｒ₂＝ｒ₃、φ₁＝φ₃、

φ1＋

φ2 ２

＝ π、ω2＝φ1−

π ２

また積分は半周で実部だけを考えればよい。こうして関係式は

ｒ12・sinω1

φ1 ∫ 0

cosξ sin2 (ξ+ω1)

ｄξ＋ｒ22・sin(φ1-

π 2

)

π-φ1 ∫ 0

cos (ξ+φ1) sin2(ξ+φ1- π 2 )

ｄξ＝０

△AOBの正弦定理から

r₁　sin ω₁＝ｒ₂ sin(π−φ₁−ω₁)＝ｒ₂ sin(φ₁＋ω₁)　　

でｒ₁、ｒ₂を消去して

sin2(φ1＋ω1){ cotω1

φ1＋ω1 ∫ ω1

cosη sin2 η

ｄη+

φ1＋ω1 ∫ ω1

1 sin η

ｄη}−　cosφ1

π ∫ φ1

1 cos η

ｄη　＝　０

積分を計算して

2 cotω1{cosecω1- cosec(φ1＋ω1)}- log

1+cos(φ1＋ω1) 1-cos(φ1＋ω1)

+log

1+cosω1 1-cosω1

+

cosφ1 sin2(φ1＋ω1)

・log

1+sinφ1 1-sinφ1

= 0

値ω₁で特徴づけられた二等辺三角形のゴミ集積所の位置が、値φ₁できまる。
計算してみると以下のようになります。

頂角∠CAB(=２ω1)	∠BOC(=φ2)	説明
0.100π	0.207π
0.200π	0.415π
0.300π	0.606π
0.333π	0.667π	正三角形
0.400π	0.772π
0.500π	0.890π	直角二等辺三角形
0.600π	0.956π
0.666π	0.978π	頂角が１２０度の 二等辺三角形
0.700π	0.984π
0.800π	0.995π
0.900π	0.998π

【感想】 最初は求める点は内心と思ったのですがどうも違うようです。

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