『(2ⁿ-1)！の性質』

福岡県　Mike さんからの問題です。

整数xに対して、f(x)をxから素因数2をすべて取り去ったものと定義する

例:
f(20)=5、
f(6!)=45

【問題１】

任意の整数n(≧2)に対して、

f((2ⁿ-1)!)≡11(mod.2ⁿ⁺¹))

が成り立つことを証明せよ。

例えば、n=4のとき、

　f(15!)
＝15*7*13*3*11*5*9*7*3*5*3
≡11 (mod.32)

と成立しています。

北海道　サボテンさんからの問題です。

【問題２】

Mikeさんの問題でY.M.Ojisanさんがコメントしていらっしゃったことが一般に証明できるので問題にしました

Nが奇数の時、N!!をN(N-2)(N-4)・・・・1で定義する。

n≧3の時
(2ⁿ-1)!!≡1(mod 2ⁿ)
を証明せよ。

愛知県　Y.M.Ojisan さんからの問題です。

【問題３】

ｐとびの階乗を　！＾ｐ　で表すとする。
ｎ≧３において

（ｐⁿ＋１）！＾ｐ≡１　mod 　ｐⁿ

が成立する２以上の整数ｐの条件を示せ。

『(2n-1)！の性質』