『充平方数』

【問題】

2以上の整数nを素因数分解したとき、全ての素因数の指数が2以上になるとき、nを充平方数と呼ぶことにします。

たとえば72=2³×3²、27=3³、49=7²などが充平方数である。

【問題１】

連続する2数からなる充平方数の組が無数に存在することを示せ。

【問題２】

連続する4整数がすべて充平方数になることはありえないことを示せ。

【発展問題】

以下のようなN個の連続する自然数が存在することを示せ。

x，x+1，…，x+N-1　はすべて、充平方数ではない。