『充平方数』解答

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

【問題１】

数列　F_n＋1＝（２F_n−1)²　を考える。

F_n＋1は平方数⊆充平方数である。

一方　F_n＋1−１＝４F_n（F_n−１）　である。
４は平方数であり、もし、F_nと（F_n−１）が充平方数ならば
F_n＋1−１は充平方数である。

ところで　８と９は隣接する充平方数であり、F₁＝９とおくことにより、
無限に隣接する充平方数の組　F_nと（F_n−１）を得ることができる。

因みにF₂＝２８９＝１７²　、F₂−１＝２８８＝３²２⁵である。

【問題２】

４ｎ＋２タイプの整数は２の倍数であるが４の倍数ではない。
即ち充平方数ではない。
よって、４連続の充平方数は存在しない。

【発展問題】

自然数の範囲で考える。

【定理１】

ｐ、ｑが互いに素であるとき適当な　ａ，ｂがあって、
ａｐ−ｂｑ＝１　とできる。

∵　証明略

【非充平方数の条件】

ｐを素数とするとき　　ｐ²＋ｋｐ　（ｋ＝１〜ｐ−１）は充平方数ではない。

∵　ｐ²＋ｋｐはｐの倍数である。
しかし、ｐ²で割るとｋｐあまり、ｐ²の倍数ではない。

【証明】

いま、異なる素数ｐ₁〜ｐ_mに対して【非充平方数の条件】を用いて整数の集合にふるいをかけたとする。　

このとき、連続する長さＮの整数列　x，x+1，…，x+N-1のふるいをかけられたパターンは、
ｐ₁〜ｐ_mの最小公倍数をＬとして、
x＋ｂＬ²，x+1＋ｂＬ²，…，x+N-1＋ｂＬ²（ｂ：任意）のパターンと同じである。

つぎにＬと素な新たな素数ｐ_m+1を用いて、
長さＮの整数列中のふるいがかかっていないある数：x＋ｑ＋ｂＬ²　(ｑ＝０〜Ｎ−１)にふるいがかけられることを示す。
なお、素数の無限存在性はよく知られている。

定理１のｘ＋ｑ倍を考えることにより
ａｐ_m+1−ｂＬ²＝ｘ＋ｑ　となる　ａ，ｂ　が存在する。
ａがｐ_m+1の倍数でなければ、x＋ｑ＋ｂＬ²　は充平方数ではない。

また、ａがｐ_m+1の倍数であるときは、
（ａ＋Ｌ²）ｐ_m+1−（ｂ＋ｐ_m+1）Ｌ²＝ｘ＋ｑ　を考えることにより
（ａ＋Ｌ²）ｐ_m+1＝ｘ＋ｑ＋ｂ‘Ｌ²
とできる。

Ｌ²はｐ_m+1と素であるから、ａ＋Ｌ²はｐ_m+1の倍数ではなく、
ｘ＋ｑ＋ｂ‘Ｌ²は充平方数ではない。

以上を繰り返せば任意のＮ連続数を充平方数でないものとできる。

【考察】　３連続充平方数の探索

２連続の充平方数は問題１解答の８，９の組を初項とする系列以外にも多数あるようです。
問題２により４連続は存在しません。
では３連続はどこかにあるのでしょうか。

プログラムで探索してみました。

方法は【非充平方数の条件】を用いたふるい法によりました。
３．６×１０⁹までには３連続のものはなく、下記２連続のみ存在しています。
３連続はないような雰囲気です。

番号	ｎ−１	ｎ	備考
1	8	9
2	288	289	9からの列
3	675	676
4	9800	9801
5	12167	12168
6	235224	235225
7	332928	332929	9からの列
8	465124	465125
9	1825200	1825201	676からの列
10	11309768	11309769
11	384199200	384199201	9801からの列
12	592192224	592192225	12168からの列

プログラム（Ｃ＋＋）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

#define Last_One ((unsigned int)900000000*(unsigned int)4+(unsigned int)1)
// 900,000,000:1GByte Memory  200,000,000:256MByte Memory

unsigned char Table[Last_One/4] ; // 0:(2,3,4,5),1:(6,7,8,9)....n-1:(...Last_One)
unsigned char Non_JHS_bitmap[4] ={0xC0,0x30,0xC,0x3};
unsigned char Cand_JHS_bitmap[4]={0x40,0x10,0x4,0x1};

clock_t start, finish;
double  duration;

void main()
{
    unsigned int i,Primes,pi,pf,q,qi,qf;

    start = clock();
    
    // Primes=2
    for(i=0;i<(Last_One/4);i++) 
       Table[i]=Non_JHS_bitmap[0]+Cand_JHS_bitmap[2]; 
    // Primes>=3
    for(Primes=3;Primes<=(Last_One/2);Primes++)
    {
       pi=(Primes-2) >>  2;
       pf=(Primes-2) & 0x3;
       if((Table[pi] & Cand_JHS_bitmap[pf])==0) //is Prime
       {
           i=1;
	   q=0;
           while( (Last_One-q) > Primes)
           {
	　　　 q+=Primes;
               qi=(q-2) >>  2;
               qf=(q-2) & 0x3;
  
               if(i==Primes)  // over Primes^2: Maybe JHS and Not Prime
               {
                   Table[qi]|=Cand_JHS_bitmap[qf];
                   i=0;
               }else   // only Primes^1 :Not JHS and Not Prime | Prime
               {
                   Table[qi]|=Non_JHS_bitmap[qf];
               }
               i++;
           }
       }
    }
    for(i=0;i<(Last_One/4);i++) 
    {
	   q= Table[i] ;
           if(q==0xD5) printf(" %u %u %u \n", 4*i+3,4*i+4,4*i+5);// 3-train
           if(q==0xF5) printf(" %u %u  \n", 4*i+4,4*i+5);
           if(q==0xD7) printf(" %u %u  \n", 4*i+3,4*i+4);
    }

    finish = clock();
    duration = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;
    printf( "Check to %u  end\n",Last_One);
    printf( "%10.1f Sec\n", duration );
}

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