『増加数列の秘密』


 今回のテーマは単調増加数列の性質です。高校生以上向きです。

先生:頭の中に、増加していく「0以上の整数の数列」を考えてください。

生徒:はい、考えました。

先生:その数列の中で、1より小さい数はいくつありますか。

生徒:1個です。

先生:その数列の中で、2より小さい数はいくつありますか。

生徒:2個です。

先生:その数列の中で、3、4,5,6・・より小さい数はそれぞれいくつありますか。

生徒:2,4,7,7・・・個です。

先生:それでは私があなたの最初に考えた数列を当ててみましょう。
0,1,3,3,4,4,4,・・・ですね。

生徒:先生、どうしてわかったのですか。すごーい!!。


今、増加していく(非減少の意味)0以上の整数からなる数列anがあります。

nを自然数として、anの中から「nより小さい値をとる項の個数」を数えます。
その個数をbnとして、新しい数列bnを作ります。

例えば、an
 0,1,3,3,4,4,4,7,8・・(1)であるとします。
(1)の数列については、数列bn
 1,2,2,4,7,7,・・・(2)のようになります。

【問題1】

(2)の数列についても、同じ手順で新しい数列を作るとき、結果はどうなるかを予想してください。
またその予想を確かめてください。

【問題2】

数列bnに対して、同じ手順で新しい数列cnを作ります。
どんな(非減少の)数列anに対しても、成り立つ結果を予想してください。

【問題3】

問題2の結果を証明してください。


 解答用紙はこちらです。 【寄せられた解答】


 ◆有理数・数列の性質へもどる

 数学の部屋へもどる