多面体シリーズ、最終回です。
サッカーボールは正五角形と正六角形の面をあわせて作られています。
しかもどの頂点を見ても、正六角形２個と正五角形１個が集まっており、全ての頂点が同じ状態になっています。
このように全ての面が何種類かの正多角形でできており、全ての頂点が同じ状態になっている多面体を準正多面体といいます。
前回は多面体の全ての頂点の「尖度の合計」は必ず７２０度になることを示しました。
（前回の問題４とその解答をよく読んでください）
準正多面体では各頂点の状況は同じですから、
７２０÷(１つの頂点の尖度)＝頂点の数 が成り立ちます。
このことと、オイラーの多面体定理（面＋頂点−辺＝２）を利用して、準正多面体の面、辺、頂点の数を計算してみましょう。
例えばサッカーボールの場合、１つの頂点の尖度は
３６０−(１２０×２＋１０８)＝１２度
したがって頂点の数は
７２０÷１２＝６０個・・(1)です。
また一つの頂点には３本の辺が集まっており、頂点の数は６０個だから、
辺の数は ３×６０＝１８０ となるはずですが、これでは一本の辺を２回ずつ数えていることになるので
正しい辺の数は３×６０÷２＝９０本・・(2)となります。
オイラーの定理と(1)､(2)より面の数は
９０−６０＋２＝３２となります。
| ※コラム１ サッカーボールは正二十面体の各辺を３等分し、その３等分した点を通るように正二十面体の頂点を切り落としてできる立体であり、 切頂二十面体と呼ばれます。
切り落とした部分は正五角形になり、正二十面体の頂点は１２個ですから、正五角形の数は１２個になります。 |
【問題１】
上の多面体は、正四面体(４つの面が正三角形の多面体)の４つの頂点を切り落としてできた準正多面体です。
(切頂四面体といいます。)
この図形の頂点の数、辺の数、面の数を求めてください。
【問題２】
上の準正多面体の各面は正三角形、正十角形でできています。
この準正多面体の頂点の数、辺の数、面の数をそれぞれ求めてください。
また正三角形の数、正十角形の数はそれぞれ何個でしょうか。
【問題３】
上の準正多面体の各面は正三角形、正方形、正五角形でできています。
この準正多面体の頂点の数、辺の数、面の数をそれぞれ求めてください。
また正三角形の数、正方形の数、正五角形の数はそれぞれ何個でしょうか。
【おまけ１】
一辺の長さが１の正八面体Ｈと、一辺の長さが１の正方形の穴が開いた平面があります。
平面に触れることなく、穴にＨを通過させることは可能でしょうか。
またその理由を示してください。
マウスをドラッグする（ボタンを押しながら動かす）と正八面体が回転します。
【おまけ２】
大阪府 ＣＨＥＣＫさんから教えていただいた問題です。
１９９９年度、日本数学オリンピック予選問題だそうです。
一辺の長さ１の正二十面体の最も長い対角線の長さを求めてください。
問題１〜３のいずれかができれば正解とします。
◆解答用紙はこちらです。
| ※コラム２
サッカーボール形の立体(三十二面体)は１９８５年に、Ｃ60という炭素の球状分子フラーレンが発見されて以来、特に分子構造を研究している化学者たちの注目を集めています。 フラーレンは、次世紀を担う新しい超伝導物質や電子材料としても大いに期待され、応用分野がどんどん拡大しているそうです。
引用：自然にひそむ数学 |
| No. | 解答時刻 | 正解者 | |
| １ | 2/28 SUN 0:06 | ネットＯＬ さん | 一般 |
| ２ | 2/28 SUN 0:14 | 松井 恵宣 さん | 一般 |
| ３ | 2/28 SUN 3:25 | 吉田 和義 さん | 一般 |
| ４ | 2/28 SUN 4:43 | 清川 育男 さん | 一般 |
| ５ | 2/28 SUN 12:54 | Asami(^_^) さん | 一般 |
| ６ | 2/28 SUN 14:56 | Dr.Berserker さん | 大学生 |
| ７ | 2/28 SUN 17:30 | 聖子 さん | 中学２年 |
| ８ | 3/ 1 MON 1:01 | 平田 和弘 さん | 一般 |
| ９ | 3/ 2 TUE 13:07 | 数学好き さん | 一般 |
| 10 | 3/ 2 TUE 14:05 | H.Fujimiya さん | 中学１年 |
| 11 | 1/ 4 TUE 18:40 | ken さん | 一般 |
◆過去問はこちらです。
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