『割り切れる？ Part6』

正の整数ｎに対して、ｎ²が２ⁿ＋１を割り切るための条件を求めてみましょう。
以下ではｎを正の整数とします。

【問題１】

ｎが２ⁿ＋１を割り切れば、ｎは奇数であることを示せ。

【問題２】

任意の整数e≧0に対して次の合同式が成り立つことを示せ。

【問題３】

ｎ²が２ⁿ＋１を割り切れば、
ｎは３²(＝９)の倍数でないことを示せ。

さて、素数pおよびpと互いに素な整数aに対して次の合同式が成り立ちます。
（Fermatの定理）

ａ^p-1≡1 (mod p).

このとき、ａ^k≡1 (mod p)となる最小の正の整数ｋをａの法ｐの位数と呼びます。

【問題４】

ｐを素数、ａをｐと互いに素な整数、ｋをａの法ｐの位数とするとき、整数ｍに対して次が成り立つことを示せ。

ａ^m≡1 (mod p) ⇔ mはkの倍数。

【問題５】

ｐをｎの素因数とし、ｎ＝ｐｍとおくとき、
ｎが２ⁿ＋１を割り切れば、２の法ｐの位数ｋは
２ｍとｐ－１の公約数であることを示せ。

【問題６】

ｎ²が２ⁿ＋１を割り切るための必要十分条件は、
ｎ＝１または３であることを示せ。

わからない問題は飛ばして、それ以降の問題で用いてもかまいません。