『不連続関数の合成』


f(x)、g(x)が連続関数であれば、g(f(x))は連続関数になる、という定理がありますが、 逆に、不連続になるのは、どんな場合なのかなぁ、と考えてみました。

とりあえず、以下は、0≦x≦1 の上の関数の話に限定します。

【問題1】

次の場合、g(f(x))が不連続になるのは、どこでしょうか。

f(x) = 0 (0≦x< 1
3
),
f(x) = 1
3
( 1
3
≦x< 2
3
),
f(x) =1 ( 2
3
≦x<1)

g(x) = 0 (0≦x≦ 1
2
),
g(x) = 2x-1 ( 1
2
<x≦1)

【問題2】

次の場合、g(f(x))が不連続になるのは、どこでしょうか。

f(x) = 3x
2
(0≦x< 1
3
),
f(x) = 1
2
( 1
3
≦x< 2
3
),
f(x) = 3x-1
2
( 2
3
≦x≦1)

g(x) = 0 (0≦x< 1
2
),
g(x) = 1
2
(x= 1
2
),
g(x) =1 ( 1
2
<x≦1)

【問題3】

f(x)、g(x)は、広義の単調増加関数とします。
g(f(x))が不連続になるのは、どんな場合でしょうか。

【コメント】

本当は、一般の場合を考えたかったのですが、わけが分からなくなってしまいました。
他の場合の例があったら、教えてください。


 解答用紙はこちらです。


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