『不連続関数の合成』

f(x)、g(x)が連続関数であれば、g(f(x))は連続関数になる、という定理がありますが、逆に、不連続になるのは、どんな場合なのかなぁ、と考えてみました。

とりあえず、以下は、0≦x≦1 の上の関数の話に限定します。

【問題１】

次の場合、g(f(x))が不連続になるのは、どこでしょうか。

f(x) = 0 (0≦x＜ 1
3 ),

f(x) = 1
3 ( 1
3 ≦x＜ 2
3 ),

f(x) =1 ( 2
3 ≦x＜1)

g(x) = 0 (0≦x≦ 1
2 ),

g(x) = 2x-1 ( 1
2 ＜x≦1)

【問題２】

次の場合、g(f(x))が不連続になるのは、どこでしょうか。

f(x) = 3x
2 (0≦x＜ 1
3 ),

f(x) = 1
2 ( 1
3 ≦x＜ 2
3 ),

f(x) = 3x-1
2 ( 2
3 ≦x≦1)

g(x) = 0 (0≦x＜ 1
2 ),

g(x) = 1
2 (x= 1
2 ),

g(x) =1 ( 1
2 ＜x≦1)

【問題３】

f(x)、g(x)は、広義の単調増加関数とします。
g(f(x))が不連続になるのは、どんな場合でしょうか。

【コメント】

本当は、一般の場合を考えたかったのですが、わけが分からなくなってしまいました。
他の場合の例があったら、教えてください。

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