『三角形の問題３題』

新潟県　タカ３ さんからの問題です。

【問題１】

三角形ABCが与えられた時、xにどんな値を与えれば、
頂点A,B,Cからの距離がそれぞれx-a,x-b,x-cに等しい点Pが存在するか？

【問題２】

三角形の外接円の半径をR、内接円の半径をr、周長の半分をsとする。
2R+r=sが成り立つのは、その三角形が直角三角形の時に限る事を証明せよ。

【問題３】

三角形ABCと、同じ平面上の点Pが与えられたとする。
(ただし、この点はその三角形の辺上や外接円上には無いものとする)

点Pから辺BC,CA,ABへ下ろした垂線の足で三角形A1B1C1を作る。
さらに、三角形A1B1C1から同じようにして(同じ点を使って)三角形A2B2C2を作り、三角形A2B2C2から三角形A3B3C3を作る。

この時、三角形A3B3C3は三角形ABCに相似である事を示せ。

ヒント:角PBA=角PA1C1=角PC2B2=角PB3A3

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