『三角取り』

小学校時代に通っていた「朗読・作文教室」で先生が「三角取り」というゲームを紹介してくれました。
今回はこれをもとに問題を作ってみました。

【問題】

次のようなルールで先手・後手２人のプレーヤーがゲームを行います。

無限に広い平面上に有限個の定点がある。
各プレーヤーは交互に適当な２点を選んでそれらを（直）線分で結ぶ。
このときすでに引かれた線分と同一のものや交差するものを選択することはできない。
線分を引いたことによって三角形が形成されたとき、その線分を引いたプレーヤーが勝者となる。

例えば、定点の数が３個の場合、常に先手が勝者となるわけです。

以下に述べる場合に、先手・後手のどちらに必勝法が存在するでしょうか。
必勝法の概略も示してください。
ただし、いずれの問題においても、定点の個数は３個以上とし、それらのうちのどの３つの組み合わせも一直線上には存在しないものとします。

【問題１】

定点の数が４個で、それらが凸四角形の頂点となっている場合。

【問題２】

定点の数が４個で、そのうちの１点が他の３点を頂点とする三角形の内部にある場合。

【問題３】

定点の数が５個の場合。

【問題４】

定点の個数が　２ｍ＋２（ｍは正の整数）で、それらが凸(2m+2)角形の頂点となっている場合。

【問題５】

有限個の定点が全体として点対称な図形を形成している場合。

さらに、以下の問題にも答えてください。

【問題６】

定点の個数が　２ｍ＋１（ｍは正の整数）で、それらが凸(2m+1)角形の頂点となっているとき、先手・後手のどちらに必勝法が存在するでしょうか。
ｍ＝３，４，５，６，７の各場合について答えてください。

【問題７】

定点の個数がｎ（ｎは３以上の整数）で、それらが凸ｎ角形の頂点となっているとき、後手に必勝法が存在するのはｎがどのような数のときでしょうか。

【問題８】

後手に必勝法が存在するのはもとの有限個の定点の位置関係がどのようなときでしょうか。

※　実際には、もっと多人数でゲームを行い、三角形をつくった人が順に勝ち抜けしてゆくというルールで行いました。
必勝法が非常にわかりにくいゲームでしかも多人数となると展開がまったく読めないので楽しいですね。

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