『多項式の列』

まず、次のように定義します。 Z=整数全体の集合とします。 定義１. (Fn(χ))　{n∈Z}を次のように定義される(Z上の)多項式の列とする。 F0(χ)=0, F1(χ)=1; Fn(χ)=χFn-1(χ)+Fn-2(χ) (n≧2), Fn(χ)=-χFn+1(χ)+Fn+2(χ) (n≦-1). また、(Fn) {n∈Z}を次のように定義される整数の列とする。 Fn=Fn(1). 定義より、整数nに対して次の等式が成り立つ: (１.１) Fn(χ)=χFn-1(χ)+Fn-2(χ). このとき、次の4つの問題に答えてください。 問１. 整数nに対して次の等式が成り立つことを示せ。 (１.２) F-n(χ)=(-1)n-1Fn(χ). 問２. 整数m,nに対して次の等式が成り立つことを示せ。 (１.３) Fm+n(χ)=Fm+1(χ)Fn(χ)+Fm(χ)Fn-1(χ). 問３. 整数m,nに対して、 Fmn(χ)はFn(χ)で割り切れることを示せ。 特に、FmnはFnで割り切れる。 問４. 整数m,nに対して、dをmとnの最大公約数(の一つ)とする。 このとき、 Fd(χ)はFm(χ)とFn(χ)の最大公約数(多項式)であることを示せ。 特に、FdはFmとFnの最大公約数である。

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