『周期数列 Part2』

【問題】

数直線上に１秒ごとに動く点Ｐがあり，
時刻ｎ（ｎは０以上の整数）に移動した後の座標
｛ｆ(ｎ)｝は次の漸化式を満たしている。

このとき，ｐは１より大きい定数であり，
ａ，ｂ（ａ＞ｂ）は互いに素な自然数である。

【問題１】

任意のｎに対して１≦ｆ(ｎ)＜ｐ²が成り立つことを示せ。

【問題２】

時刻１からｎまでのｎ回の移動のうちで数直線上の正方向に進んだ回数をｋ回とする。

ｋｂ
ａの小数部分の値をｒとするとき，

ｆ(ｎ)をｒで表せ。（答えは２つある）

【問題３】

｛ｆ(ｎ)｝の取りうる値は有限個であることを示し，その値の個数をａ，ｂを用いて表せ。