『数列の帰納的定義』

　今回のテーマは帰納的に定義された数列の性質を調べることです。
今、ａ_n+2＝ａ_n+1×ａ_n＋１を満たす、自然数の数列ａ_nについて考えます。

【問題１】

　ａ₁＝ａ₂＝１であるとき、ａ_nは４で割り切れないことを証明してください。

【問題２】

　ａ₁，ａ₂の値に関係なく、
ｎ≧９のとき、ａ_n－２２は素数にならないことを証明してください。

【問題３】（神奈川県　わかさひ君からの問題）

　この数列の初項ａ₁＝１、ａ₂は２以上の自然数であるとき、
ｎが合成数ならばａ_nも合成数であることを証明してください。

参考文献：MATHEMATICAL CIRCLES by Dmitri Fomin,Sergey Genkin and Ilia Itenberg American Mathematical Society

【質問１】

　ａ₁＝ａ₂＝１であるとき、上の数列の一般項ａ_nを求めることはできるのでしょうか。
私の能力ではできませんが・・・。

【質問２】

　ａ₁＝１，ａ₂＝２，ａ₃＝４

ｎ≧４のとき、
ａ_n＝ａ_n-1＋ａ_n-2＋ａ_n-3

を満たす数列の一般項をご存じの方、教えてください。
きれいな式にはならないようです。