『総和の総和の…の値』

兵庫県　くまさんからの問題です。

【問題】

面白い結果を見つけたので証明してみてください。

a(i,j)を以下のように定義する。(i,jは自然数)

a(1,j)=1

a(i,j)＝ j
Σ
k=1 a(i-1,k)

このとき、a(i,j)=a(j,i)を証明してください。

a(1,j)は1
a(2,j)は自然数(1の総和)
a(3,j)は自然数の総和
…
となっています。

1  1  1  1  1
1  2  3  4  5
1  3  6 10 15
1  4 10 20 35
1  5 15 35 70