『馬k公式の共通点』

【問題】

ｋは、とりあえず、自然数とします。

【問題１】

N

n=1		nk の Nの最高次係数を求めて下さい。

【問題２】

N

n=1		nk の Nの 最高次−1次の係数を求めて下さい。(k≧1)　

【問題３】

N

n=1		nk の Nの 最高次−2次の係数を求めて下さい。(k≧2)　

【補足】

例えば、k＝2の公式の場合は、
N

n=1		n2= N(N+1)(2N+1)
6		= 1
3		N3+ 1
2		N2+ 1
6		N
つまり、最高次の係数が 1
3		,　その次が 1
2		, その次が 1
6		というわけです。

【コメント】

元になった演習問題は、(1)を区分求積法で解く問題でした。
今まで、公式の形でしか見てなかったので、その係数に規則性があるのは、ちょっと意外に思ったのですが…。

実は、この調子で、一般項を全部求めようとしたのですが、失敗してしまいました。
ぜひ、誰か分かる人がいたら、お願いします。

【追加問題】

加藤さんに指摘してもらったベルヌーイ数を使った一般形を問題にしてみました。
以下では、Fk(N) = N

n=1		nk= k+1

i=0		ai Ni と置きます。

(1) Fk(x) は　k+1次の多項式である事を確認して下さい。

(2) Fk(x)-Fk(x-1) は何になるでしょうか？

(3) Fk(x)の係数{ai}が満たす連立方程式を書いて下さい。
　　なお、定数項(a0)が、0である事も確認して下さい。

(4) ak+1-j = (-1)j * kCj * Bj
k+1-j		 と変換した場合に、
　　{Bj}が満たす連立方程式を書いて下さい。

(5) {Bj} がベルヌーイ数と呼ばれる数列である事を確認して下さい。

なお、ベルヌーイ数は、次の連立方程式の解だとします。
(T) B0 = 1
(U) m

j=0		m+1Cj * Bj = 0　(m=1,2,…,k)

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