『整数問題一発勝負 Part２』

【問題１】

(１)：任意に整数５個を与えます。
この中からうまく３つ選べばその和が３で割り切れることを証明して下さい。

(２)：任意に整数11個を与えます。
この中からうまく６つ選べばその和が６で割り切れることを証明して下さい。

(３)：連続する10個の整数があります。
この中から５つ選んでその和が５で割り切れるようなものは何通りありますか？

(４)：どれも20の約数となるような20個の整数があります。
この中から何個かうまく選べば和を丁度20にできることを証明して下さい。

【問題２】

Asamiさんを含めてｎ人からなるグループが学園祭で出し物をするための準備をすることになり、毎日丁度３人ずつ使って交代でやることにしました。

すると、ｎ人の中からどの２人を選んできても２人が一緒に仕事をしているときが必ずあり、またその２人は１度きりしか顔を合わせて仕事をすることがなかったといいます。

(１)：ｎ≧７であることを証明して下さい。

(２)：ｎ＝７となることがあり得ることを示して下さい。

(３)：ｎ＝７のとき、仕事をした日数を求めて下さい。

【問題３】

正整数ｎ,ｒ,ｓに対して

( ｎ
―――――
(ｎ，ｒ) , ｎ
―――――
(ｎ，ｓ) ）＝１

ならば
ｎ(ｎ，ｒ＋ｓ)＝(ｎ，ｒ)(ｎ，ｓ)が成り立つことを示して下さい。

ただし、(ｎ，ｒ)でｎとｒとの最大公約数を表します。