『光輝く天の星』

一辺１の正五角形ABCDEがある。
この時、辺AC、CE、EB、BD、DAに補助線を入れると正五角形内部に『星』が浮かび上がってくる。
この『星』に囲まれる面積をs₁とおく。

【問題１】

s₁を求めよ。
ただしsin、cosはそのまま用いて表してよい。

次に辺CEと辺BDの交点をA₁、辺DAと辺CEの交点をB₁、辺EBと辺ADの交点をC１、辺ACと辺EBの交点をD₁、辺BDと辺ACの交点をE₁とすると、正五角形A₁B₁C₁D₁E₁が出来る。
この時、辺A₁C₁、C₁E₁、E₁B₁、B₁D₁、D₁A₁に補助線を入れると、この正五角形内部に『星』が浮かび上がってくる。
この『星』に囲まれる面積をs₂とおく。

以下同様の作業を行い、s₃,s₄,…s_nと作っていく。
(nは自然数である)

【問題２】

この作業を無限に繰り返したとき、最内にある『星』の面積は０に収束する。
理由を説明しなさい。

【問題３】

T_n＝s₁+s₂+…+s_n を求めよ。

【問題４】

lim n→∞

Tnを求めよ。

ただし問題３、４では

sin36=0.58，sin54=0.80，sin72=0.95
cos36=0.80，cos54=0.58，cos72=0.30

として計算せよ。

【コメント】

たぶん最後まで解けると思います。
この問題、是非とも中学生に解いていただきたいです。

あと極限を習われた高校生へ。
この問題は、私の経験上恐らく、入試問題でいう易レベルくらいの問題かと思います。
頑張って最後まで解ききってください。　　

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