正三角形作り

『正三角形作り』

　何本かの直線を使って、正三角形がいくつ作れるかを考える。
但し、正三角形の内部に直線の一部が含まれても良い（数にかぞえる）ものとする。
（例えば、直線３本で正三角形を作り、その中にもう１本の直線で小さな正三角形を作った場合、正三角形の数は２つとかぞえる。）

【問題】

「n本の直線で作れる正三角形の数」の最大値をf(n)とする。
n = 1, 2, ...に対して、

【問題１】

f(n)を求めよ。

【問題２】

1 ≦ k ≦ f(n)を満たす任意の整数kに対して、n本の直線でちょうどk個の正三角形が作れることを示せ。
（つまり、(n本の直線で作れる正三角形の数全体) = {k| 1 ≦ k ≦ f(n), kは整数}）

【おまけ】

もし興味があれば、次の条件のもとで【問題】を考えてみてください。

(a) 正三角形の内部と直線が交わらないもののみをかぞえた場合
(b) 「直線」を「線分」にかえた場合
（長さはすべて等しいとしても良い）