『N項の数列』

【問題】

自然数によって構成されるN項の数列a(1),a(2),…,a(N)があります。

a(1)＜a(2)＜…＜a(N)を満たすとします。

a(N)未満の任意の自然数kに対して、
二つの自然数i,j(1≦i＜j≦N)を考え、

a(j)-a(i)=kとなるような、(i,j)の組み合わせは高々3通りしかないとします。

この時、a(N)の最小値を求めましょう。

この問題、そのままだと難しいと思うので誘導をつけてみました。

といっても私自身この解答を持っているわけではないので、この誘導に従って解くことができるかは保証しません。
また、誘導に従わなくてもこの問題の解答を与えることができると思う方は以下の誘導問題を無視していただいて構いません。

【問題１】

N=1,2,3の場合を考えます。
それぞれの場合について、a(N)の最小値を求めてください。

【問題２】

Nが3の倍数の時、a(N)とa(N+1)の関係式を求めてください。
Nが3で割って1余る数のとき、a(N)とa(N+1)の関係式を求めてください。
Nが3で割って2余る数のとき、a(N)とa(N+1)の関係式を求めてください。

【問題３】

a(N)を求めてください。