『ｎ！の素因数分解』

【問題】

ある自然数ｎ，素数ｐに対して，
ｎ！を素因数分解したときのｐの指数をＡ(n)，
ｎをｐ進法で表したときの全ての桁の和をＢ(n)と表すことにする。

例えば，ｎ＝６，ｐ＝３のとき，

　６！
＝１×２×３×４×５×６
＝（２⁴）×（３²）×５より

Ａ(６)＝２

６を３進法で表すと２０となるので，
Ｂ(６)＝２＋０＝２となる。

このとき，
（ｐ－１）Ａ(n)＋Ｂ(n)＝ｎが成り立つことを証明せよ。