数学の部屋へもどる
● 『トランプの色あて』 の解答の副産物としての問題です。
二項係数を C(n, r) で表す。
また，非負整数 n，r に対して B(n, r) を次の式で定義する。
| B(0, r) = | 1 | （r≧0） | ||
| B(n, r) = | B(n-1, r+1) + B(n, r-1) | （n＞0，r＞0 のとき) | ||
| B(n-1, r+1) | （n＞0，r＝0 のとき） |
【問題１】
任意の非負整数 n，r に対して，次の式が成立することを証明せよ。
| B(n, r) = | r+1 n+r+1 | C(2n+r, n) | |
【問題２】
任意の非負整数 n，u，v に対して，次の式が成立することを証明せよ。
| Σ | B(i, u) B(j, v) = B(n, u+v+1) | |
| i+j=n | ||
【問題３】
任意の自然数 n に対して，次の式が成り立つことを証明せよ。
| (1) | n Σ k=1 | C(2n-k-1, n-1) = C(2n-1, n-1) |
| (2) | n Σ k=1 | k C(2n-k-1, n-1) = n B(n-1, 1) = C(2n, n-1) |
| (3) | n Σ k=1 | k2 C(2n-k-1, n-1) = n B(n-1, 2) = | 3n n+2 | C(2n, n-1) | |
【問題４】
任意の自然数 n に対して，次の式が成り立つことを証明せよ。
| (1) | n Σ k=1 | 2k C(2n-k-1, n-1) = 22n-1 |
| (2) | n Σ k=1 | k 2k C(2n-k-1, n-1) = n C(2n, n) |
| (3) | n Σ k=1 | k2 2k C(2n-k-1, n-1) = n (22n - C(2n, n)) | |
◆数・数列の性質へもどる
数学の部屋へもどる