『２項係数の３分割』

【問題】

次を証明してください。

∑
k=3の倍数 _nC_k は、 2ⁿ
3 を
整数に切り上げた値、または切り下げた値に等しい。

【補足】

念のためですが、「一番近い整数」とは異なる場合もあります。

例えば、n=6 の時、
₆C₀ + ₆C₃ + ₆C₆ = 22

64/3 = 21.3333　、整数に切り上げると 22 で一致する、という感じです。

【追加問題】

n が3 以上の場合、次を証明してください。

∑
k=5の倍数 _nC_k は、

2ⁿ
5 - f_n よりは大きく、 2ⁿ
5 + f_n よりは小さい。

但し、f_n は、フィボナッチ数列の n項目の事で、項は、
f₀=0, f₁=1, f₂=1, f₃=2, f₄=3, f₅=5, ... という数え方だとします。

例えば、n=5 の場合、
₅C₀ + ₅C₅ = 2 は、
32/5 - f₅ = 1.4 よりは、大きくなっています。