『2項係数の3分割』


【問題】

次を証明してください。


k=3の倍数
nCk は、2n
3
整数に切り上げた値、または切り下げた値に等しい。

【補足】

念のためですが、「一番近い整数」とは異なる場合もあります。

例えば、n=6 の時、
6C0 + 6C3 + 6C6 = 22

64/3 = 21.3333 、整数に切り上げると 22 で一致する、という感じです。

【追加問題】

n が3 以上の場合、次を証明してください。


k=5の倍数
nCk は、
2n
5
- fn よりは大きく、 2n
5
+ fn よりは小さい。

但し、fn は、フィボナッチ数列の n項目の事で、項は、
f0=0, f1=1, f2=1, f3=2, f4=3, f5=5, ... という数え方だとします。

例えば、n=5 の場合、
5C0 + 5C5 = 2 は、
32/5 - f5 = 1.4 よりは、大きくなっています。


 解答用紙はこちらです。 【寄せられた解答】


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