『三角形の分割』

　下図のように△ＡＢＣの内部にいくつか点を取り、それらの点や△ＡＢＣの頂点を結んで、△ＡＢＣをいくつかの三角形に分割することを考えます。
結ぶ線が互いに交わることがなければ、どんな結び方をしてもよいとします。

この図の場合は、内部の点３つと△ＡＢＣの頂点３つの計６つの点を結んでいます。
△ＡＢＣは７つの三角形に分割されています。

【問題１】

内部の点が４つの場合は△ＡＢＣは最大でいくつの三角形に分割されるでしょうか。

【問題２】

下図のように、三角形の内部に３つ、周上に３つの点を取り、それらの点や△ＡＢＣの頂点を結んで三角形に分割するとき、△ＡＢＣは最大でいくつの三角形に分割されるでしょうか。

【問題３】

　△ＡＢＣの内部にａ個、周上にｂ個の点を取るとします。
△ＡＢＣをそれらの点や△ＡＢＣの頂点を結んで三角形に分割するとき、△ＡＢＣは最大でいくつの三角形に分割されるでしょうか。

参考文献：ピーター・フランクル著「数学パズル塾」（朝日文庫）