◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
ある状態から、
内部の点を１つ増やすと、１つの三角形を３つに分割できます。
つまり、三角形は２つ増えます。
周上の点を１つ増やすと、１つの三角形を２つに分割できます。
つまり、三角形は１つ増えます。
以上のことから
【問題１】
１＋４×２＝９ ９個
【問題２】
１＋３×２＋３×１＝１０ １０個
【問題３】
１＋２ａ＋ｂ個
直感で出しましたが、どうでしょうか？
【コメント】
うーむ、鋭い勘ですね。
みごと正解です。
この問題はいろいろな求め方がありそうです。
他の解答を見つけた方、またお知らせください。
◆石川県 Takashi さんからの解答。
＜T＞
大きい三角形を△ＡＢＣ、その中に点Ｄをとると、交差しない線分ＤＡ,ＤＢ,ＤＣが引けて、△ＡＢＣは３つの△ＤＡＢ,△ＤＢＣ,△ＤＣＡに分割できる。
さらに△ＡＢＣの中に点Ｅを取るとき、点Ｅが３つの△ＤＡＢ,△ＤＢＣ,△ＤＣＡのどの三角形の中にあっても、点Ｄの様にその１つの三角形を３つに分割する事ができる。
そこで三角形の内部にａ個の点があるとき分割できる三角形の最大個数 Ｎ(a) は、
Ｎ(ａ)＝Ｎ(ａ-1)−１＋３、N(0)＝１ 【ａ≧１】
Ｎ(ａ)＝２ａ＋１ 【ａ≧０】
答 ９個
＜V＞
任意の三角形の任意の辺上に１点が存在するとき、点を含む辺上にない頂点とその点を結ぶ線分にもとの三角形は２つに分割される。
よって△ＡＢＣの内部にａ個、辺上にｂ個の点が存在するとき、分割できる三角形の最大個数を Ｌ(a,b) とする。
Ｌ(a,b)＝Ｎ(a)＋ｂ
答 ２ａ＋ｂ＋１個
≪感想≫
一見難しそうですけど、１点ずつ置いていくと案外と解かり易い問題です。
◆京都府 the king of water gate さんからの解答。
三角形でない部分があるときはその部分に点を結んで三角形を作ることができ、三角形の個数は増えるので、三角形の最大個数は全て三角形に分割されたときになる。
全て三角形に分割されたときＡＢＣの中にある辺の数をｃ、三角形の数をｓとする。
このとき点の数はａ＋ｂ＋３
辺の数はｂ＋ｃ＋３なので
（ａ＋ｂ＋３）−（ｂ＋ｃ＋３）＋（ｓ＋１）＝２。
ａ−ｃ＋ｓ＝１。
三角形とその辺の対の数から
ｂ＋２ｃ＋３＝３ｓ。
よって
２（ａ−ｃ＋ｓ）＋（ｂ＋２ｃ＋３）＝２＋３ｓ。
２ａ＋ｂ＋１＝ｓ。
全て三角形に分割されたときは、
三角形の数は常に２ａ＋ｂ＋１個で、これが最大個数になる。