『元に戻る交換』


【問題】

n(≧2)人のそれぞれがすべて異なる(nー1)個の玉を等しく持っています。
そこで、それぞれは初めに持っていた玉すべてを他の全員とお互いに1個ずつ交換します。

ところが、この交換は次の2通りしか許されません。

(1)すべての交換において、どの交換も異種同士にさせる。
(2)すべての交換において、どの交換も同種同士にさせる。

さて、ここで問題です。

全員とも初めの状態に戻る交換の方法が、nに関係なく必ずあるでしょうか?
ある場合もない場合も、その理由を示してください。。

【追加問題】

Y.M.Ojisan さんの解答より、以下の2つの事実が示されました。

それでは、次の条件を満たすそれぞれのnはあるでしょうか?

(1)同種同士の交換だけで、n人全員が元の状態に戻る奇数n
(2)異種同士の交換だけで、n人全員が元の状態に戻る偶数n

ある場合もない場合も、その理由を示してください。


 解答用紙はこちらです。 【寄せられた解答】


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