◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
任意のｎで可能である。
＜定義＞
(A) ｎ人の人を ０〜ｎー１番 の番号で識別する。
(B) ｎ−１種の玉の色を １〜ｎー１番 の番号で識別するとともに、０番の色を拡張追加し、これを交換しない意味とする。
(C)Ｉ番の人がＪ番の人に渡す色を ＥＩＪ とする。
＜定式化＞ ＥＩＪに要請される問題の条件は
（あ）自分とは交換しない
ＥＩＩ＝０
（い）最初１人は全て異なる色を持つ
Ｊ≠Ｋ のとき ＥＩＪ≠ＥＩＫ
（う）交換後１人は全て異なる色を持つ
Ｉ≠Ｋ のとき ＥＩＪ≠ＥＫＪ
（え１）（１）の条件 ＥＩＪ≠ＥＪＩ （Ｉ≠Ｊ）
（え２）（２）の条件 ＥＩＪ＝ＥＪＩ ：対称行列
＜ｎが奇数の場合＞
任意の奇数ｎで（１）の条件で成立するＥＩＪがある。
∵ （え１）の条件を強化し下記（⊂え１）で考える。
これは（あ）と矛盾せず、ｎが奇数なので（⊂え１）が成立すれば（え１）は成立する。
∵もしＥＩＪ＝ＥＪＩなら ＥＩＪ＝n/2 であり、整数でないから矛盾する。
（⊂え１）ＥＩＪ＝−ＥＪＩ [mod ｎ] ：反対称行列
いきなり、成立するＥＩＪの作り方を示す。
ＥＩＪ＝I−J [mod ｎ]
を考えると、明らかに（あ）（い）(う)を満足している。
また −ＥＪＩ＝−（J−I）＝ＥＩＪ[mod ｎ] より（⊂え１）を満足する。
＜ｎが偶数の場合＞
任意の偶数ｎで（２）の条件で成立するＥＩＪがある。
∵ (い)と（え２）から（う）は導かれるので、（あ）（い）（え２）のみの条件でよい。
こちらもいきなり、成立するＥＩＪの作り方を示す。
｛第１段階｝
ＥＩJ＝{(I+J+1) mod (ｎ-1)}+1 for I≦n−2 J≦n−2
：明らかに（い）（え２）条件には非抵触である。
（あ）条件は後で修正する。要素値に０はない。
｛第２段階｝
ＥＩ,ｎ-１＝Ｅｎ-１,I＝ＥＩＩ の後
ＥＩＩを白紙化 for I=０〜n−2
:(え２)は明らかである。
行内で要素を移動しただけなので、０〜ｎ−２行では（い）に非抵触であり、要素値に０はない。
また、n−１行の要素値−１は（２*Ｊ＋１）mod (ｎ-1)であり、
２と奇数n−１は互いに素であるので、要素値は１〜ｎ−１の値を一巡し、（い）には抵触せず、値は０ではない。
｛第３段階｝
ＥＩＩ＝０ for I=０〜n−1
：（あ）の条件完了。
また、第２段階まででは０値はなく、かつ、対角要素への設定なので、（い）にも抵触しない。
以上でＥＩJ要素は全部埋まり、（あ）（い）（え２）を満足している。
【Ｐ．Ｓ．】
実際には、ｎが偶数の場合、０番〜ｎ−２番の人内で
（自分番号＋相手番号）mod (ｎー１)で交換する色を決めて交換し、
各自残った色をｎ−１番の人と交換すればよい。
一方、奇数の場合は（自分番号―相手番号）mod ｎで決める。
◆出題者のコメント。
早々に解答ありがとうございます。正解です。
期待以上のすばらしい解答です。
特に偶数時の巧妙な手法には感心しました。
示された偶数ｎの手法は、異なるｎ個を縦にも横にも揃える魔法陣(ｎｘｎ)の一般解にもなります。
解答より、いかなる奇数時にも元に戻る異種交換は必ず存在するが、同種交換は存在しないことが示されました。
また、いかなる偶数時にも元に戻る同種交換が必ず存在することも示されました。
もうお判りと思いますが、問題を１つ追加します。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【追加問題（２）】
答え ｎ＝２，４を除き任意の偶数で異種交換可能である。
∵ 下図に示すように、ｎ＝２，４ では 不可能である。
一方、ｎ＝８ は 下図に示す解がある。
また、奇数は一般に存在した。
いまｍ×ｍ行列Ｅｍが異種交換の性質を満足しているとき、
下図によりＥ２ｍを作成すると、これも異種交換の性質を満足している。
｛∵Ｅｍは０〜ｍ−１を要素値とするｍ次亜魔方陣であるので、
Ｆ＝Ｅｍ＋ｍＵ、Ｇ＝｛Ｅｍ＋Ｕ mod m｝ｔ＋ｍＵは、
ｍから２ｍ−１を要素値とするｍ次亜魔方陣であり、
Ｅ２ｍは０〜２ｍ−１を要素値とする２ｍ次亜魔方陣である。
また、Ｇｔ＝Ｆ＋Ｕ mod m であるので Ｇｔ≠Ｆである。
ここで「ｍ次亜魔方陣」は異なるｍ個を縦にも横にも揃える魔法陣(ｍｘｍ)の意味とする。
対角への条件なし。｝
つまり、ｎ＝８×２Ｋないしｎ＝奇数×２Ｋは可能である。
Ｋ：非負整数。
【P.S.】
魔方陣の作り方と似ていますね。
Cｆ『４の倍数でない偶数魔方陣』
◆出題者のコメント。
自分同士の交換に使う玉を(ｎ−１)種とは別なｎ番目の玉とし、横の行を渡す玉、縦の列を貰う玉、としてｎ行ｎ列の魔法陣を作ることを考えます。
異種交換でも同種交換でも共通して言えることは、異なるｎ個を縦にも横にも揃える必要があります。
異種交換,同種交換のそれぞれにおいて、さらに次の条件が加わります。
異種交換(ＥＩJ≠ＥJＩ)：魔法陣において、自分同士のマスを結んだ対角線を挟んで対称な位置は等しくない。
同種交換(ＥＩJ＝ＥJＩ)：魔法陣において、自分同士のマスを結んだ対角線を挟んで対称な位置は等しい。
Y.M.Ojisan さんの【追加問題】の解答では、ｎ＝６ の例は条件を満足しています。
ところが、ｎ＝８ の例は条件を満足していません。
それから、確かに厳密に言えば「奇数ｎの時は同種交換は存在しない」とは解答中には示されていませんでした。
早とちりで、失礼しました。
【追加問題】の文章を改めました。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【追加問題（１）】
答え ｎが奇数の場合に同種交換は不可能である。
∵ ｎが奇数の場合、一つの色に関して交換のペアを組むと必ず１つあまるので不可能である。
【解答訂正のコメント】
n=8の例に誤記がありましたので修正しました。
太字部。
また、問題文修正に合わせ、解答を一部修正しました。
◆出題者のコメント。
Y.M.Ojisan さんへ
すべて正解です。
３と４を入れ違えただけの、ただのミスプリだったんですね。
気付いてさえいれば、明らかに可能例になっているので些末なことでした。
気付かなくて、すみませんでした。