『分散のミニ・マックス』

【練習問題】

９人の家族が正５角形の頂点にある５個の部屋に分散して住んでいます。
人の移動は正５角形の辺を移動しますが、時計回りにしか移動できません。
部屋にはやはり時計回りに１,２,３,４,５と部屋番号が付いています。
１人が１辺を移動する移動量を１とします。

【問題１】

部屋番号１の部屋に４人
部屋番号２の部屋に２人
部屋番号３の部屋に０人
部屋番号４の部屋に３人
部屋番号５の部屋に０人
と、家族は各部屋に分散しています。

５つの部屋のどこか１つの部屋に家族全員が集まりたいのですが、家族全員の総移動量を最少にするには、どの部屋に集まれば良いのでしょう。
また、その時の家族全員の総移動量はどれだけでしょう。

【問題２】

彼等は家族全員が１つの部屋に集まる時は、いつも全員の総移動量が最少になるような部屋を選んで集まります。
この最少の総移動量が最も多くなるような分散の仕方はどのような家族の分散の仕方か１例を示してください。

また、その時の家族全員の総移動量はどれだけでしょう。

【本命問題】

ｍ人の家族が正ｎ角形の頂点にあるｎ個の部屋に分散して住んでいます。
人の移動は正ｎ角形の辺を移動しますが、時計回りにしか移動できません。
彼等は家族全員が１つの部屋に集まる時は、いつも全員の総移動量が最少になるような部屋を選んで集まります。

この最少の総移動量が最も多くなるような分散の仕方をしていた時、家族全員の総移動量はどれだけでしょう。
与えられた人数ｍと部屋数ｎでこの時の家族全員の総移動量を表してください。
１人が正ｎ角形の１辺を移動する移動量を１とします。
（ただしｍ,ｎは整数でｍ≧２,ｎ≧３　とする。）