『理想の株のパラドックス』

先日、金融工学的な事を、勉強するはめになったのですが、「期待値」について、ちょっと不思議な問題を見つけたので、考えてみてください。

【前提】

問題の「理想の株」ですが、次のような物だと考えてください。

• 1ヵ月後の価格が、2倍になるか、1/2になるかの、2通りしかなく、
• 売りたい時、買いたい時は、その価格で、瞬間的に、何枚でも売買できて、
• 手数料とか、税金などは、全然掛からないとします。

【練習１】

１ヵ月後の、この株価の期待値は、何円でしょう？

【本題】

この理想の株を使って、A氏は、次のような「券」を売り出しました。

• もし、理想の株が値上がりした場合、10円を払う。
• ただし、値下がりした場合には、何も払わない。

【問題１】

この「券」を持っていた時、1ヵ月後に受け取れる額の期待値は、何円でしょう？

【問題２】

実は、この「券」は、(問題１の答え)円で売れれば、確実に、もうけを出す事が出来ます。
次の (イ)(ロ)(ハ) を埋めて下さい。

『「券」で約束した額を払うためには、現時点で、理想の株を
(イ)枚、現金を(ロ)円、持っていればよい。
従って、(ハ)円以上で「券」が売れれば、その差額が、もうけになる。』

【補足】

(ロ)＜0 だと、借金している事になりますが、利息などは考えない事にします。

【問題３】

どうして、期待値で売って、確実に、もうけを出す事ができるのでしょうか。
パラドックスの原因になっている点を考えてみてください。
(どういう条件だと、A氏の商売が出来なくなるか、という感じで答えてください。)

【コメント】

小学校か、中学校ぐらいの時に、「期待値」は、「賭けだと思った時に公平な価格」だと習った記憶があるのですが、 マルチンゲールという条件がなければ、そうでもない、というのが、けっこう、驚きでした。
もっとも、現実には、なかなか、もうけ話は無いようですが…。

【追加問題】

同じ状況で、「券その２」として「理想の株」が値下がりしたら10円払い、値上がりした場合には何も返さないモノを考えます。
この「券その２」が、5円で売られていたとしたら、買った方が得だと思いますか？
また、何円までだったら買いますか？

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