◆東京都 かえる さんからの解答。
【練習１】
| １０・２・ | １ ２ | ＋１０・ | １ ２ | ・ | １ ２ |
＝１２．５・・・【答】 |
【問題１】
| １０・ | １ ２ | ＋０・ | １ ２ | ＝５・・・【答】 |
【問題２】
株、券の確率変数をＸ、Ｙとする。
| ２倍 | 半額 | |
| Ｘ | ２０ | ５ |
| Ｙ | １０ | ０ |
| より、Ｙ＝ | ２ ３ | ・Ｘ− | １０ ３ |
| ゆえに、（イ） | ２ ３ | （ロ） | １０ ３ | ・・・【答】 |
１株は１０円なので、
| ２ ３ | ・１０− | １０ ３ | ＝ | １０ ３ | （ハ）・・・【答】 |
【問題３】
１株の１月後の期待値（本問の場合１２．５）が１株の現在の値段（本問の場合１０）より大きければ、期待値で売って儲けることができるのは当然。
◆東京都 ドミンゴ さんからの解答。
【練習１】
| 20× | 1 2 | + 5× | 1 2 | = 12.5 |
【問題１】
| 10× | 1 2 | + 0× | 1 2 | = 5 |
【問題２】
題意を正しく把握できているか不安なのですが．．．
10円借金して株を1枚購入し，5円で「券」を1枚売ることができれば，少なくとも損をすることは無く，50%の確率で利益が出るということでしょうか？
以下のように考えました。
・借金して株を購入し，「券」を売った直後の状態
(「券」を売って得た利益は借金の返済に充てている)
5円の借金，「券」1枚分の義務，株1枚
・１ヶ月後に株価が上昇した場合
株を売って20円の利益，「券」の所有者に10円支払い，借金5円を返済
→ 差し引き5円の利益
・１ヶ月後に株価が下落した場合
株を売って得た5円を，借金の返済に充てる
→ 損得なし．
(イ) 1
(ロ) -10(現時点というのを，「券」が売れる前とみなしています)
(ハ) 5
【問題３】
「券」が5円で売り出される場合，（期待値／購入額）を考えれば「券」よりも株の方が魅力的なのに，あえて「券」を買う人がいることにパラドックスがあるように思われます。
現実の世界では，こういう相対的な損に気付かない場合もありそうですが，人間がみな合理的な行動を取るという仮定のもとでは，上記のことはパラドックスになるんじゃないでしょうか。
たとえば，「券」を5円で売り出し，株価上昇時は10円の支払い，株価下落時は2.5円の支払いという風に条件を変えてしまえば，株と「券」はどちらも，
期待値／購入額 = 1.25
となり，A氏の商売は成立しないのではないでしょうか？
（株と「券」の売買の組み合わせが，株だけの売買と変わらないという意味において）
あるいは，「券」を4円で売り出しても，同じことになると思います。
◆出題者のコメント。
かえるさん、ドミンゴさん、ありがとうございます。
問題２は、かえるさんが正解です。
補足説明なのですが、A氏は、「券」が 5円で売れた場合、次のように処理します。
(1) 売り上げの 5円のうち、3.33…円だけを残して、1.66…円を別に保存しておく。
(2) さらに、3.33…円の借金をする。
(3) 計 6.66…円で、0.66…枚の「株」を買う。
(現時点では、1枚10円だから)
この1ヵ月後に、
(4) 株が20円になれば、13.33…円で売却して、3.33…円の借金を返し、約束の10円を払う。
(5) 株が5円になれば、3.33…円で売却して、3.33…円の借金を返す。
と、いうわけで、どっちの場合でも、約束の金額を払った後、別に保存しておいた1.66…円が、丸ごと残る、という商売になります。
問題３は、意図していたのは、かえるさんの意味だったのですが、ドミンゴさんの、お客さんの合理性の考察については、予想外で、びっくりしました。
ただ、自分でも、怪しい説明しか出来ないので、次の追加問題も、一緒に説明が出来るような、うまい説明を、作ってもらえれば、と思います。
思ったより、説明が難しいのかもしれません。
【追加問題】
同じ状況で、「券その２」として「理想の株」が値下がりしたら10円払い、値上がりした場合には何も返さないモノを考えます。
この「券その２」が、5円で売られていたとしたら、買った方が得だと思いますか？
また、何円までだったら買いますか?
◆愛知県 迷子の雄猫 さんからの解答。
【問題３】
券３枚につき、現時点で、株を２株、現金を−１０円持っていると、
株が値上がりしたとき：
株式売却で＋４０円、
券の所有者への支払いで−３０円、
借金返済で−１０円で差し引き０
株が値下がりしたとき：
株式売却で＋１０円、
券の所有者への支払いで０円、
借金返済で−１０円で差し引き０
となって、値上がりしようがしまいが、券が売れた分の金額が手元に残ります。
だから、
よって、『「券」で約束した額を払うためには、現時点で、理想の株を
| (イ： | ２ ３ |
)枚、現金を(ロ：− | １０ ３ | )円、持っていればよい。 |
| 従って、(ハ： | １０ ３ | )円以上で「券」が売れれば、その差額が、もうけになる。』 |
◆東京都 かえる さんからの解答。
【追加問題】
株、券その２の確率変数をＸ、Ｚとする。
| ２倍 | 半額 | |
| Ｘ | ２０ | ５ |
| Ｚ | ０ | １０ |
| より、Ｚ＝− | ２ ３ | ・Ｘ＋ | ４０ ３ |
Ｘ＝１０を代入して、
| − | ２ ３ | ・１０＋ | ４０ ３ |
＝ | ２０ ３ |
５円ならば買った方が得
| ２０ ３ | 円までなら買う・・・【答】 |
◆愛知県 迷子の雄猫 さんからの解答。
【追加問題】
３５円用意して、「理想の株」２株と、「券その２」を３枚買います。
株が値上がりしたとき：
「理想の株」の購入価格で−２０円、
「券その２」の購入価格で−１５円、
株式売却で＋４０円、
券と引き換えに受け取る金額０円で差し引き５円
株が値下がりしたとき：
「理想の株」の購入価格で−２０円、
「券その２」の購入価格で−１５円、
株式売却で＋１０円、
券と引き換えに受け取る金額３０円で差し引き５円
となって必ず５円儲かります。
よって、「券その２」の購入価格が６＋２／３円までなら購入したほうが得・・・なのですが、あくまでこれは数学の問題として考えた場合の話。
現実問題としては、今「理想の株」を持っている人は、「券その２」の購入価格が７円程度なら買うでしょうね。
「券その２」を購入することで、確実に少しの損をしますが、大損をする危険を回避できますから。