『ｉの嵐』

【まえおき１】

ｘ^２＝−１を満たすｘは？と問われれば、±ｉと答えるのが普通ですが、解はこの怪しげな数ｉしかないのでしょうか。

ｊ^２＝−１　であって、ｉ≠ｊ≠−ｉ　なるｊはないのでしょうか。
こたえは、「あるようなないような」です。
ｉとｊと１（実数単位）だけで、一つの「数」の枠組み（超複素数）を作ることが可能ですが、これは、実数、複素数に比べ便利ではありません。
ここで便利とは、少し省いて書きますが、下記の性質を持つこととします。

(1-1)　加法：＋がある。

(1-2)　加法交換則：Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ

(1-3)　０(元)がある。
　Ａ＋０＝Ａ

(1-4)  逆元：−Ａがある。≡引き算できる
　Ａ＋（−Ａ）＝０


(2-1)  乗法：×がある。

(2-2)　乗法交換則：Ａ×Ｂ＝Ｂ×Ａ　

(2-3) １(元)がある。
　Ａ×１＝Ａ＝１×Ａ

(2-4)  可除性（逆数）：１/Ａがある。Ａ≠０
　Ａ×(１/Ａ)R＝１＝(１/Ａ)L×Ａ

(3)分配則がある。
　Ａ×（Ｂ＋Ｃ）＝Ａ×Ｂ＋Ａ×Ｃ
　（Ｂ＋Ｃ）×Ａ　＝Ｂ×Ａ＋Ｃ×Ａ

(4)乗法結合則がある。
　Ａ×（Ｂ×Ｃ）＝（Ａ×Ｂ）×Ｃ

実数および複素数はこれらの性質を全て持っています。
一方、ｉとｊと１（実数単位）だけでは、成立しない「便利さ」が多くなります。

そこで登場するのが、若干不便ですが、 ４元数（ハミルトン数）です。
（αは実数、ｉ→ｉ₁、ｊ→ｉ₂）

Ｚ＝α₀＋α₁×ｉ₁＋α₂×ｉ₂＋α₃×ｉ₃

ただし、掛け算：×に関し、表２であるとします。
表１の複素数にくらべ、大きな違いは

ｉ₁×ｉ₂＝ｉ₃＝−ｉ₂×ｉ₁

であって、(2-2) 乗法交換則だけが成り立たないことです。

表１　複素数の乗積表
×	１	ｉ1
１	１	ｉ1
ｉ1	ｉ1	−１

表２　４元数の乗積表
×	１	ｉ1	ｉ2	ｉ3
１	１	ｉ1	ｉ2	ｉ3
ｉ1	ｉ1	−１	ｉ3	−ｉ2
ｉ2	ｉ2	−ｉ3	−１	ｉ1
ｉ3	ｉ3	ｉ2	−ｉ1	−１

【問題１】

３元数　Ｚ＝α₀＋α₁×ｉ₁＋α₂×ｉ₂

が便利でないのはどういうところでしょう。
ただし、(1-1)〜(1-4),(2-1),(3)は成立しているとし、乗法は表３であるとします。

なお、(2-1)が成立する（環である）とは　表３の？Nが　
？N＝ＰN₀＋ＰN₁×ｉ₁＋ＰN₂×ｉ₂（ＰNは実数）であることとおなじです。
証明は、PNkの６成分をどう選んでも,
(2-2),(2-3),(3-4),(4) のうちの幾つかが成立しないことを計算すればよいのです。

表３　３元数の乗積表
×	１	ｉ1	ｉ2
１	１	ｉ1	ｉ2
ｉ1	ｉ1	−１	？２
ｉ2	ｉ2	？１	−１

【まえおき２】

４元数は多分いきなり出てきたのではなく、問題１の破綻を少なくするため　、次元を広げて
ｉ₁×ｉ₂＝ｉ₃　を導入したと推測されます。
また、最初はｉ₁×ｉ₂＝ｉ₂×ｉ₁をもちこんだでしょう。

【問題２】

４元数　Ｚ＝α₀＋α₁×ｉ₁＋α₂×ｉ₂＋α₃×(ｉ₁×ｉ₂) で

ｉ₁×ｉ₂＝ｉ₂×ｉ₁＝ｉ₃としたとき、この４元数系は数として便利でない例を示せ。

ただし、

ｉ32＝ｉ1×ｉ2×ｉ1×ｉ2＝ｉ1×ｉ1×ｉ2×ｉ2＝ｉ12×ｉ22＝１より

なので「ｉ₃導入は意味なし」は解答ではありません。
ｉに対するｊのように
ｉ₃²＝１　だが　ｉ₃≠±１　なる数（虚実数単位ｒとする）が有っても良いからです。
この問題の本質は　　Ｚ＝１＋ｒ　のような数（複素数に対応する呼び方として「２重数」と呼ばれる）の不便利さの発見におきかわります。

【まえおき３】

ハミルトンの４元数は表2で特徴付けられ、(2-2)乗法の交換則を除き便利な性質を持っています。
表２は【まえおき２、問題２】を経由して生み出された可能性以外に、もう一つ、２重化（ケーリー&ディクソン手法）という考え方で生まれた可能性もあります。

これは　複素数　Ｚ＝α₀＋α₁×ｉ₁の
係数α₀、α₁が実は別の複素数系の数　

α₀＝β₀₀＋β₀₁×ｉ₂
α₁＝β₁₀＋β₁₁×ｉ₂

に拡張したものとする方法です。
この方法でも、同じハミルトンの４元数が生成可能です。

【問題３】

複素数　Ｚ＝β₀＋β₁×ｉ₄　　

の係数　β₀、β₁、が実はハミルトンの４元数

β₀＝α₀₁＋α₀₁×ｉ₁＋α₀₂×ｉ₂＋α₀₃×ｉ₃

β₁＝α₁₁＋α₁₁×ｉ₁＋α₁₂×ｉ₂＋α₁₃×ｉ₃

であるとして２重化により生成出来る８元数の系は、(2-2)の乗法交換則の破綻以外に成立しない「便利さ」があります。
それは　(2-3),(3-4),(4)　のうちどれでしょうか。
問題４を先に解答したら分かります。

【問題４】

８元数の乗積表を完成してください。
乗算は下の式で規定します。

（β0＋β1×ｉ4）×（γ0＋γ1×ｉ4）＝(β0γ0−γ’1β1)＋（γ1β0＋β1γ’0）×ｉ4

つまり

β’0＝α01−α01×ｉ1−α02×ｉ2−α03×ｉ3

【おまけ問題】

ハミルトンの４元数　Ｚ＝α₀＋α₁×ｉ₁＋α₂×ｉ₂＋α₃×ｉ₃
の係数　α₀、α₁、α₂、α₃が別系統のハミルトンの４元数　

α0＝β00＋β01×ｉ4＋β02×ｉ8＋β03×ｉ12  、
α1＝β10＋β11×ｉ4。。。。。。。。

【うんちくとヒント】

ハミルトンの４元数はべクトルと行列の祖先だそうです。
また問題３、４の８元数はケーリー数と呼ばれていますが，最初は別系統の問題「平方和の問題」から見つかったそうです。

なお、フロベニウスの定理として、便利な数体系に近い（可除性がある）ものは １，２，４，８元数に限られ、かつ、それぞれ実数、複素数、ハミルトン数、ケーリー数と同形であることが証明されています。

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