『平方数に近い階乗』

【問題１－１】

　Nを2以上の整数とし,P₁(N)をN以下の最大の素数とする。
このとき　P₁(N)*N！が平方数と成るNをなるべくたくさん見つけてください。

【問題１－２】

　その個数は何個ですか。次の補題を使ってよいとします。

【補題】

整数：Ｍ＞１、π（Ｍ）はＭ以下の素数の個数とするとき

Ｍ≧２　のとき　　π（２Ｍ）－π（Ｍ）≧１
Ｍ≧７　のとき　　π（２Ｍ）－π（Ｍ）≧２
Ｍ≧１１のとき　　π（２Ｍ）－π（Ｍ）≧３
Ｍ≧１７のとき　　π（２Ｍ）－π（Ｍ）≧４
Ｍ≧２３のとき　　π（２Ｍ）－π（Ｍ）≧５

【問題２－１】

　Nを3以上の整数とし,P1(N) 、P2(N)をN以下の最大および２番目に大きい素数とする。
このとき　P₁(N)* P₂(N)*N！が平方数と成るNをなるべくたくさん見つけてください。

【問題２－２】

　その個数は何個ですか。前の補題を使ってよいとします。

【問題３－１】

　Nを５以上の整数とし,P₁(N) 、P₂(N) 、P₃(N)をN以下の最大および２番目,３番目に大きい素数とする。
このとき　P₁(N)*P₂(N)*P₃(N)*N！が平方数と成るNをなるべくたくさん見つけてください。

【問題３－２】

　その個数は何個ですか。前の補題を使ってよいとします。

【おまけ１】

　補題を証明してください。探せば部屋の中で埃を被っています。

【おまけ２】

　問題４では存在するでしょうか。

【おまけ３】

　Ｐ_iをｎ以下の重複しない任意の素数とするとどうでしょうか。

＜本問題は掲示板質問の発展です＞