『モニック多項式』

【問題】

自然数ｎについて，ｎの各桁の偶数部分を０に，奇数部分を１に変えたものを
f(ｎ)と表す。

例えば
f(９２７６)＝１０１０，f(４５１６)＝１１０である。
以下ではｆ(a)，f(b)は２桁以上の自然数とする。

【問題１】

f(f(ａ)×f(ｂ))＝１１１を満たすａ，ｂは存在しないことを示せ。

【問題２】

４桁以下の自然数ｃのうち
f(f(ａ)×f(ｂ))＝ｃとなるａ，ｂが存在しないようなｃはいくつあるか。

【問題３】

f(f(ａ)×f(ｂ))＝１００１１を満たすａ，ｂが存在するかどうかを判定せよ。

【問題４】

全ての桁が１である自然数をｄとする。
f(f(ａ)×f(ｂ))＝ｄを満たすａ，ｂが存在しないとき，ｄの桁数は素数であることを示せ。