『すべての福袋の組合せ』

あるお店では毎年正月には福袋を売り出します。
今年も売り出しに備えて福袋を作らねばなりません。

福袋作りの条件は，例年同様次の通りです。

（１）　福袋には必ず１つ以上の商品を入れる。
（２）　中身がそっくり同じ福袋は作らない。
（３）　１つの福袋に同一商品を複数入れない。
（４）　福袋のために用意した商品は必ずいずれかの福袋に入れる。

福袋の中身としてＮ種類の商品をＮ個ずつ用意しました。
すべての福袋の組合せは何通りあるでしょうか？

商品の種類をＡ,Ｂ,Ｃ,… で，福袋の袋を［］で表し、例を示します。
ただし，各福袋の順序も福袋内の各商品の順序も問題にしません。

●Ｎ＝２の時は、後にも先にも次の１通りです。
　福袋が３つ
　　[Ａ]+[Ｂ]+[Ａ+Ｂ]

●Ｎ＝３の時は、以下の５通りです。
　福袋が６つの時
　　[Ａ]+[Ｂ]+[Ｃ]+[Ｂ+Ｃ]+[Ｃ+Ａ]+[Ａ+Ｂ]

　福袋が５つの時
　　[Ｂ]+[Ｃ]+[Ｃ+Ａ]+[Ａ+Ｂ]+[Ａ+Ｂ+Ｃ]
　　[Ｃ]+[Ａ]+[Ａ+Ｂ]+[Ｂ+Ｃ]+[Ａ+Ｂ+Ｃ]
　　[Ａ]+[Ｂ]+[Ｂ+Ｃ]+[Ｃ+Ａ]+[Ａ+Ｂ+Ｃ]

　福袋が４つの時
　　[Ｂ+Ｃ]+[Ｃ+Ａ]+[Ａ+Ｂ]+[Ａ+Ｂ+Ｃ]

【問題】

Ｎが４,５,６,７の時は、すべての福袋の組合せは何通りあるでしょうか？
また、任意の自然数Ｎにおいて、すべての福袋の組合せは何通りあるでしょうか？