『ファレー数列』

【問題】

自然数ｎに対して，分母がｎ以下であるような既約分数のうちで，０以上１以下のもの全てを大きさの順に並べた数列をつくる。
これをＦ(n)とする。たとえば

Ｆ(3)： 0
――
1 ， 1
――
3 ， 1
――
2 ， 2
――
3 ， 1
――
1

Ｆ(4)： 0
――
1 ， 1
――
4 ， 1
――
3 ， 1
――
2 ， 2
――
3 ， 3
――
4 ， 1
――
1

である。
（この数列はファレー数列と呼ばれている。）

Ｆ(n)の任意の隣り合う２項

ｂ
――
ａ，ｄ
――
ｃ（ｂ
――
ａ＜ｄ
――
ｃとする）

について考える。

【問題１】

ａｄ－ｂｃ＝１が成り立つことを示せ。

【問題２】

Ｆ(n+1)において

ｂ
――
ａ＜ｑ
――
ｐ＜ｄ
――
ｃをみたすｑ
――
ｐ

（ｐ＝ｎ＋１）が存在するとき，

ｐ＝ａ＋ｃ，ｑ＝ｂ＋ｄが成り立つことを示せ。

【問題３】

ファレー数列Ｆ(n)の項数を表す方法を考えよ。