『同値関係』

集合Ｘの２つの要素の間に関係〜が定義されていて、

反射律（１）ｘ〜ｘ
対称律（２）ｘ〜ｙ　→　ｙ〜ｘ
推移律（３）ｘ〜ｙ、ｙ〜ｚ　→　ｘ〜ｚ

の３つの条件を満たすとき、関係〜を同値関係という。

[例１]

実数の集合に対して、関係＝は３つの条件をすべて満たすので同値関係です。

[例２]

ある自然数ｎを１つ決めます。
自然数の集合に対して、関係ａ〜ｂを

「|ａ−ｂ|をｎで割ったら余りは０」と定義します。

この関係は同値関係です。

例えばｎ＝３とすると、
{1,4,7,･･･},{2,5,8,･･･},{3,6,9,･･･}の３つのグループにわかれ、同じグループに属する２数は関係〜を満たし、異なるグループに属する２数は関係〜を満たしません。

[例３]

平面上のすべての三角形の集合に対して、関係∽は同値関係です。
この関係によって、三角形は形が同じ（サイズは問わない）グループに分けられます。

では、実数の集合に対して定義された関係≦を考えてみましょう。
この関係は（１）と（３）は満たしますが、（２）を満たさないので、同値関係ではありません。

また、関係＜は（３）しか満たしません。

【問題】

さて、同値関係の３つの条件の真偽の組み合わせは８通り。
同値関係でない場合の７通りについて、集合Ｘと関係〜を見つけてください。

（Ｃ）と（Ｇ）の場合も他におもしろい例があれば教えてください。

	(1)反射律	(2)対称律	(3)推移律
(Ａ)	○	○	○	実数の集合、＝
(Ｂ)	○	○	×	？？？
(Ｃ)	○	×	○	実数の集合、≦
(Ｄ)	○	×	×	？？？
(Ｅ)	×	○	○	？？？
(Ｆ)	×	○	×	？？？
(Ｇ)	×	×	○	実数の集合、＜
(Ｈ)	×	×	×	？？？

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