◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答。
（Ｂの事例）
G:可換でない群
○:その演算
x,y∈Gに対して
x〜y⇔x○y=y○x と定義する。
(1)反射律
x∈Gに対して常にx○x=x○xであるから
x〜xが成立する。
よって反射律が成立する。
(2対称律
x,y∈Gに対してx〜yが成立する時
x○y=y○xであるから
y○x=x○y
よってy〜xとなり、対称律が成立する。
(3)推移律
Gは可換でない群であるから適当なx,y∈Gで
x○y≠y○xが成立する。
Gの単位元をeとする。
x○e=e○xかつ
e○y=y○eであって
x○y≠y○x
すなわちx〜eかつe〜yであってx〜yでない。
よって推移律は成立しない。
（Ｄの事例）
Z:整数の集合
x,y∈Zに対して
x〜y⇔y≠x+1と定義する。
(1)反射律
x∈Zに対して常にx≠x+1であるから
x〜xが成立する。
よって反射律が成立する。
(2)対称律
0,1∈Zに対して0≠1+1かつ1≠0+1であるから
0〜1であるが1〜0でない。
よって対称律は成立しない。
(3)推移律
0,1,2∈Zに対して
0≠1+1,2≠0+1かつ2=1+1であるから
即ち1〜0かつ0〜2であって1〜2でない。
よって推移律は成立しない。
（Ｆの事例）
Z:整数の集合
x,y∈Zに対して
x〜y⇔x+y=0と定義する。
(1)反射律
1∈Zに対して常に1+1≠0であるから反射律は成立しない。
(2)対称律
x,y∈Zに対してx+y=0ならばy+x=0であるから
x〜yならばy〜xである。
よって対称律が成立する。
(3)推移律
1+(-1)=0かつ(-1)+1=であるが1+1≠0であるから
即ち1〜-1かつ-1〜1であって1〜1でない。
よって推移律は成立しない。
（Ｈの事例）
Z:整数の集合
x,y∈Zに対して
x〜y⇔y=x+1と定義する。
(1)反射律
x∈Zに対して常にx≠x+1であるから反射律は成立しない。
(2)対称律
x,y∈Zに対してy=x+1ならばx≠y+1であるから
x〜yであるがy〜xではない。
よって対称律は成立しない。
(3)推移律
x,y,z∈Z
x〜yかつy〜zの時y=x+1かつ z=y+1であるから
z=x+2となりx〜zは成立しない。
よって推移律は成立しない。
●参考（青木注）
掲示板の方でＮ.Ｃ さんが、対称律と推移律が成り立っても、反射律が成立しない事例として、２つの実数ｘとｙについて
「ｘとｙが同符号」であることを「ｘｙ＞０」と定義する例を報告されています。
（すなわちＥの事例）
掲示板から引用しますが、このやり方だと「同符号」という関係は，反射律が成り立たなくなります。
（０と０は同符号でなくなる）
また けめ丸 さんが、岩波数学事典から
「反射律 x 〜 y」の代わりに、
「任意の x に対して、x 〜 y である y が少なくとも一つ存在する」としても、同値の定義として同等である。
ことを報告されています。
◆東京都 四年寝太郎 さんからの解答。
E)のパターンはないと思います。
2)よりx〜y→y〜x
3)よりx〜y,y〜z→x〜z
ここで、z=xとしてみると、
ｘ〜ｙならば2)より3)の条件y〜z(=x)が成立する。
よって、x〜z(=x) つまりx〜xとなり、1)が成り立たないことに矛盾。
ただし、任意のyに対してｘ〜ｙでないような関係においては
ｘ〜ｙとなり得ないので矛盾はしない。
が、関係といえるのかな？
【コメント】
＞ただし、任意のyに対してｘ〜ｙでないような関係においては
＞ｘ〜ｙとなり得ないので矛盾はしない。
＞が、関係といえるのかな？
そう言われるとそんな気もしますが、「ｘとｙが同符号」の例を見るとやはり関係だと納得してしまいます。
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答。
四年寝太郎さんの回答’に対するコメント
この問題のきっかけは、掲示板1999年11月10日18時54分付けの‘千葉英明さんの’投稿がきっかけのようです。
同日19時05分の‘N.Cさん’の投稿の定義では、
同値関係の定義
1)x〜x
2)x〜y⇒y〜x
3)x〜y,y〜z⇒x〜z
となっています。
上の定義をより厳密に定義いたしますと
集合ＸとＸの任意の要素x,yに対して、何らかの関係‘〜’を定義する。
〜’が以下の３つを満足する時、これを同値関係と言う。
1)全てのx∈Ｘに対してx〜xが成立する。
2)x,y∈Ｘがx〜yを満たすならばy〜xが成立する。
3)x,y,z∈Ｘがx〜y,y〜zを満たすならばx〜zが成立する。
上の定義の中で
1)については集合Ｘの全てが、この命題を満足しなくてはならない。
2),3)の命題については‘仮定’を満たさないＸの要素については、何も論じていません。
具体的にいいますと
2)については‘x,y∈Ｘがx〜yを満たすならば’を満足しないx∈Ｘが存在するかもしれない。
3)については‘x,y,z∈Ｘがx〜y,y〜zを満たすならば’を満足しないx∈Ｘが存在するかもしれない。
これが、青木先生が‘●参考(青木注)’で示された事例の0(零)に相当します。
「1999年11月11日10時13分の‘N.Cさん’の掲示板の内容」
「同日14時11分の‘けめ丸さん’の掲示板の内容」も良く吟味して下さい。
これは、命題1)を満足しない可能性があります。
私の定義に書きなおしますと
Ｘ：実数の集合
x,y∈Ｘに対して、x〜yを
x×y(実数の乗算)＞0と定義する。
Ｘの要素0(零)はこの定義によれば、1)を満足しないので関係‘〜’は反射律を満足しません。
しかし2)と3)については、各命題の仮定を満たす全てのＸの要素について、命題の結論が成立します。
よってこの事例は、反射律を満たさないが、対象律と推移律を満足する事例（Ｅ）になります。
◆富山県 N.C さんからの解答(コメント)。
定義を厳密に適応しないと誤謬を招くことがありますが、同値関係はその最たるものですね。
掲示板に関連した話題を書いたとき、厳密な形で書くべきかどうか随分迷った（約１分ほど）のですが、省略してしまいました。
正しくは、千葉県の緑川氏のコメントの通りです。
（Ｅ）「反射律× 対称律○ 推移律○」の例
以前、掲示板にも書いたように（そして何度か引用されているように）
２つの実数ｘとｙに対して
「ｘとｙは同符号」を「ｘｙ＞０」で定義すると、（Ｅ）の例になります。
「符号が同じ」という元々の意味からすると、０のように符号がプラスともマイナスともはっきりできない数に「同符号」という概念をうまく適応できないのは当然のことですね。
（Ｆ）「反射律× 対称律○ 推移律×」の例
上の例に対して、２つの実数ｘとｙに対して
「ｘ〜ｙ」を「ｘｙ＜０」で定義すると、（Ｆ）の例になります。
その他に,「ｘｙ≧０」なら
（Ｂ）「反射律○ 対称律○ 推移律×」の例、
「ｘｙ≦０」なら
（Ｆ）「反射律× 対称律○ 推移律×」の例ですね。
（Ｂ）「反射律○ 対称律○ 推移律×」の例
２つの実数ｘとｙが近いかどうかは、その人のそのときの主観に依存するものなのですが、取りあえず
「ｘ〜ｙ」を「ｘとｙの距離が１未満（｜ｘ−ｙ｜＜１）」で定義すると（Ｂ）の例になります。
（Ｄ）「反射律○ 対称律× 推移律×」の例
上の例を少し変えて、２つの実数ｘとｙに対して
「ｘ〜ｙ」を「ｘ−ｙ＜１」で定義すると（Ｄ）の例になります。
（でも、少し作為的で面白くない例ですが。）
◆広島県 ビンタ さんからの解答。
(F)
ある人間に対して、〜を恋人同士であると定義する。
このとき反射律は、a君はa君の恋人でないので、成り立たない。
また対称律は、明らかに成り立つ。
推移律は、aとbが恋人同士で、bとｃが恋人同士のとき、aとcが恋人同士であるとは限らないので、不成立であ
る。
◆青木コメント。
対象律は明らかに成り立つのでしょうか？（＾＾；
また反射律もナルシストもいるので。。。