『楕円の周長』

【問題】

ｘｙ平面上の楕円Ｃ：ｘ²
ａ² ＋ｙ²
ｂ² ＝１

（ａ，ｂは正の実数でａ＞ｂ）の周の長さをＬとする。

【問題１】

以下に述べられていることの間違いを指摘し，また間違いであることを弧長積分（曲線の長さを求める積分法）の定義に従って証明せよ。
（「積分不能だから」という理由は証明のうちにいれません）

楕円Ｃは原点中心半径1の円をｘ軸方向にａ倍，ｙ軸方向にｂ倍したものであるから
周の長さはａｂ倍されるので
Ｌ＝2ａｂπである

【問題２】

(ａ＋ｂ)π＜Ｌ＜2(ａ＋ｂ)πを示せ。

【問題３】

楕円Ｃの周上に反時計回りにｎ個の点列
Ｐ(1)，Ｐ(2)，･･･，Ｐ(n)（ｎは2以上の整数）を以下の条件を満たすように定める。

条件：
Ｐ(1)の座標は（ａ，0）であり，ｎ個の点列
Ｐ(1)，Ｐ(2)，･･･，Ｐ(n)によって楕円Ｃの周はｎ等分される。

このとき，Ｐ(n)の座標を（ａcosθ，ｂsinθ）
（θは0＜θ＜2πを満たす実数）として，
ｎを限りなく大きくしたときのｎ(2π－θ)の近づく値をＬ，ａ，ｂの中から必要なものを用いて表せ。

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