『コンピュータウィルスの感染』

東京都　サボテン さんからの問題です。

以下の条件の下で問題を解いて下さい。

1. ウィルスが伝わってきたら必ずその人は感染するものとします。

2. ウィルスに感染した人は次のステップで確率pでウィルスを伝播させるとします。

3. ウィルスが伝わらなかった場合はそこでウィルスの感染はストップします。

1次元にならんだN個の点上に人がいるとします。
N番目の人がウィルスに感染する確率は幾らですか?
またN→∞でどのような値に収束するか求めてください。

【本題】

２次元の座標を考え、座標(n,m)に人がいるとします。
但しn,mは0以上N以下の整数です。

最初座標(0,0)の人がウィルスに感染したとします。
(n,m)の人は次のステップで(n+1,m)と(n,m+1)の人にそれぞれ独立に確率pでウィルスを伝播させるとします。

この時、座標(N,N)の人がウィルスに感染する確率は幾らですか?
またN→∞でどのような値に収束するか求めて下さい。

【プログラム問題】

本題において実際にウィルスが感染していく様子をシミュレートしてみて下さい。
(pは適当に設定して下さい。)

この問題はウィルスの感染ではなく、伝言ゲームとしても良かったのですが、コンピュータウィルスの猛威を参考に作ったので、ウィルスにしました。

【出題者のコメント】

本題に関して最初解く事が出来たと思っていたのですが、私の勘違いで解答がまだ用意できていない状態です。
もし解かれた方がいらっしゃたら、是非解法を教えて頂きたいです。
この問題の状況を容易にした問題『細胞のネットワーク』は高校生の方も取り組めるように工夫しましたので、そちらもご覧下さい。

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