『細胞のネットワーク』

東京都　サボテン さんからの問題です。

この問題は『コンピュータウィルスの感染』を容易にしたものです。
以下の条件の下で問題を解いて下さい。

1. 各点には細胞があるとします。

2. 細胞は伝達物質Aを受け取ると、興奮状態になります。

3. 興奮状態の細胞は次の細胞に確率pで伝達物質Aを伝達します。

4. 同一グループ内の細胞は少なくとも一つの細胞が興奮すると、そのグループ内の全ての細胞が興奮状態になるとします。

【問題１】

2次元の座標を考え座標(n,m)に細胞が存在するとします。
但しn,mは0以上N以下の整数です。

また、x+y=k(k:整数)上の点の細胞は全て同一グループに属するものとし、これをグループkと称することにします。

最初座標(0,0)の細胞が興奮状態になったとします。
(n,m)に存在する細胞は次のステップで(n+1,m)と(n,m+1)の細胞にそれぞれ独立に確率pで伝達物質Aを伝播させるとします。
但しn=N,又はm=Nの時はそれぞれ(N,m+1),(n+1,N)に伝播させるとします。

このとき(N,N)にある細胞が興奮状態になる確率を求めなさい。

【問題２】

問題１で求めた関数が、N→∞の時どのような振る舞いをするか特殊関数を用いてあらわして下さい。

問題１は高校生の力で解く事ができると思います。
解けるように問題を作ったため、現実的なモデルとは言い難いかもしれませんが、グループ分けやネットワークを改良すれば多少なりとも現実的になるかもしれません。

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